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De entre todos los movimientos rectilíneos uniformemente acelerados (m.r.u.a.) o movimientos rectilíneos uniformemente variados (m.r.u.v.) que se dan en la naturaleza, existen dos de particular interés: la caida libre y el lanzamiento vertical. En este apartado estudiaremos el lanzamiento vertical. Ambos se rigen por las ecuaciones propias de los movimientos rectilíneos uniformemente acelerados (m.r.u.a.) o movimientos rectilíneos uniformemente variados (m.r.u.v.):

y=y0+v0t+12at2

v=v0+at

a=cte

Lanzamiento Vertical

En el lanzamiento vertical un objeto es lanzado verticalemente hacia arriba o hacia abajo desde cierta altura H despreciando cualquier tipo de rozamiento con el aire o cualquier otro obstáculo. Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) en el que la aceleración coincide con el valor de la gravedad. En la superficie de la Tierra, la aceleración de la gravedad se puede considerar constante, dirigida hacia abajo, se designa por la letra y su valor es de 9'8m/s2.

Para estudiar el movimiento de lanzamiento vertical normalmente utilizaremos un sistema de referencia cuyo origen de coordenadas se encuentra en el pie de la vertical del punto desde el que lanzamos el cuerpo y consideraremos el sentido positivo del eje y apuntando hacia arriba, tal y como puede verse en la figura:

Lanzamiento Vertical hacia arriba y hacia abajo

El lanzamiento vertical es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) en el que se lanza un cuerpo verticalmente con cierta velocidad inicial desde cierta altura y no encuentra resistencial alguna en su camino. Podemos distinguir dos casos según el sistema de referencia considerado:

  • Lanzamos el cuerpo hacia arriba y por tanto velocidad inicial positiva (v0>0). En este caso las ecuaciones del lanzamiento vertical hacia arriba son:

    y=H+v0t-12gt2

    v=v0-gt

    a=-g

  • Lanzamos el cuerpo hacia abajo y por tanto velocidad inicial negativa (v0las ecuaciones del lanzamiento vertical hacia abajo son:

    y=H-v0t-12gt2

    v=-v0-gt

    a=-g

Donde:

  • y: La posición final del cuerpo. Su unidad en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro (m)
  • v, v0: La velocidad final e inicial del cuerpo respectivamente. Su unidad en el Sistema Internacion (S.I.) es el metro  (m/s)
  • a: La aceleración del cuerpo durante el movimiento. Su unidad en el Sistema Internacion (S.I.) es el metro (m/s).
  • t: Intervalo de tiempo durante el cual se produce el movimiento. Su unidad en el Sistema Internacion (S.I.) es el segundo (s)
  • H: La altura desde la que se lanza el cuerpo. Se trata de una medida de longitud y por tanto se mide en metros.
  • g: El valor de la aceleración de la gravedad que, en la superficie terrestre puede considerarse igual a 9.8 m/s2

Un equilibrista novato se encuentra sobre una plataforma situada a 12 metros de altura. Practicando juegos malabares con 2 bolas, tiene un traspiés y lanza verticalmente cada una de ellas a 9 m/s, sin embargo una de ellas hacia arriba y que llamaremos A y otra hacia abajo que llamaremos B. Considerando que la gravedad es 10 m/sg2, calcular:

a) El tiempo que permanecen en el aire.
b) La velocidad con que llegan al suelo.
c) La altura máxima que alcanzó la bola A.

Solución

Para resolver este ejercicio estudiaremos cada bola por separado, ya que cada una de ellas experimenta un movimiento distinto:

Bola A. Lanzamiento Vertical hacia Arriba.
Bola B. Lanzamiento Vertical hacia Abajo.

Cuestión a)

Datos

H = 12 m
v0 = 9 m/s
g = 10 m/s

Resolución

En ambos casos, para calcular el tiempo que permanecen en el aire deberemos conocer el instante en el que tocan el suelo, es decir cuando su posición y=0 m. Sustituyendo en las ecuaciones de posición del movimiento vertical:

Bola A

yA=H+v0·tA-12·g·tA0=12+9·tA-10·tA220=12+9·tA-5·tA2tA=2.69 s

Bola B

yB=H+v0·tB-12·g·tB0=12-9·tB-10·tB220=12-9·tB-5·tB2tB=0.9 s

 

 

Cuestión b)

Datos

H = 12 m
v0 = 9 m/s
g = 10 m/s
tA = 2.69 s
tB = 0.9 s

Resolución

Una vez que conocemos el tiempo en que tardan en caer cada una de las bolas podemos utilizar ese tiempo para calcular su velocidad en ese instante aplicando las fórmulas de lanzamiento vertical:

Bola A

vA=vA0 - g · tA vA=9 - 10 · 2.69 vA = -17.9 m/s

Bola B

vB=vB0 - g · tB vB=-9 - 10 · 0.9 vB = -18 m/s

 

 

Cuestión c)

Datos

H = 12 m
v0 = 9 m/s
g = 10 m/s
tA = 2.69 s
tB = 0.9 s

Resolución

La bola A alcanza la altura máxima cuando su velocidad es 0 m/sg. En primer lugar calcularemos el tiempo en que alcanza dicha altura:

0=9 - 10 · t t = 0.9 s

Una vez que conocemos el tiempo, vamos a calcular la altura máxima:

ymax=12+9·0.9-10·(0.9)22ymax=16.05 m

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