Intensidad del campo eléctrico creado por una carga puntual

Cuestión a)

Datos
q = 5 µC = 5 · 10^-6 C
Punto de la carga. P_q = (-2,3) m
Punto del espacio. P_e = (6,2) m
K = 9 · 10⁹ N·m²/C²

Resolución

Para calcular la intensidad de campo originada por una carga puntual, utilizaremos la expresión:

$$\overrightarrow{E}=K·\frac{q}{r^2}·{\overrightarrow{u}}_r$$

De todos los valores que necesitamos para calcularla, nos hace falta conocer el vector $\overrightarrow{r}$ que separa el punto y la carga. A partir de él podemos calcular su módulo r (es decir, la distancia que hay entre el punto y la carga) y el vector unitario ${\overrightarrow{u}}_r$. Si sabemos que $\overrightarrow{r}$ es el vector cuyo punto de origen es el de la carga Pq (-2,3) y el punto extremo es el del punto donde queremos hallar la intensidad Pe(6,2), aplicando la definición de vector:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{r}=(P_{ex}-P_{qx})·\overrightarrow{i}+(P_{ey}-P_{qy})·\overrightarrow{j} \Rightarrow \\ \overrightarrow{r}=(6-\left(-2\right))·\overrightarrow{i}+(2-3)·\overrightarrow{j} \Rightarrow \\ \underline{\overrightarrow{r}=8·\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}m} \end{gathered}$$

Una vez que conocemos su valor, aplicando la definición de módulo de un vector:

$$\begin{gathered} r=\sqrt{8^2+{\left(-1\right)}^2} \Rightarrow \\ r=\sqrt{65}\Rightarrow \\ \underline{r=8.06 m} \end{gathered}$$

Con el módulo y el vector $\overrightarrow{r}$, calcularemos su vector unitario ${\overrightarrow{u}}_r$:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{u}}_r=\frac{\overrightarrow{r}}{r} \Rightarrow \\ {\overrightarrow{u}}_r=\frac{8·\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}}{8.06}\Rightarrow \\ \underline{{\overrightarrow{u}}_r=0.99·\overrightarrow{i}-0.12·\overrightarrow{j}} \end{gathered}$$

Ahora ya estamos en condiciones de calcular el campo eléctrico:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{E}=9·{10}^9·\frac{5·{10}^{-6}}{8.{06}^2}·0.99·\overrightarrow{i}-0.12·\overrightarrow{j}\Rightarrow \\ \boxed{\overrightarrow{E}=685.77·\overrightarrow{i}-83.12·\overrightarrow{j}N/C} \end{gathered}$$

Cuestión b)

Datos
q = -3 5 µC = -3 · 10^-6 C
Punto de la carga. P_q = (1,-5) m
Punto del espacio. P_e = (6,2) m
K = 9 · 10⁹ N·m²/C²

Resolución

Para resolver esta cuestión utilizaremos la misma estrategia seguida en el apartado anterior. En primer lugar calcularemos el vector $\overrightarrow{r}$:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{r}=(6-1)·\overrightarrow{i}+(2-\left(-5\right))·\overrightarrow{j} \Rightarrow \\ \underline{\overrightarrow{r}=5·\overrightarrow{i}+7·\overrightarrow{j}m} \end{gathered}$$

Luego su módulo:

$$\begin{gathered} r=\sqrt{5^2+7^2} \Rightarrow \\ \underline{r=8.6 m} \end{gathered}$$

Su vector unitario:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{u}}_r=\frac{5·\overrightarrow{i}+7·\overrightarrow{j}}{8.6}\Rightarrow \\ \underline{{\overrightarrow{u}}_r=0.58·\overrightarrow{i}-0.81·\overrightarrow{j}} \end{gathered}$$

Y por último, el campo eléctrico creado en el punto (6,2):

$$\begin{gathered} \overrightarrow{E}=9·{10}^9·\frac{-3·{10}^{-6}}{8.6^2}·0.58·\overrightarrow{i}-0.81·\overrightarrow{j}\Rightarrow \\ \boxed{\overrightarrow{E}=-211.74·\overrightarrow{i}+295.70·\overrightarrow{j}N/C} \end{gathered}$$