Potencial Eléctrico

A lo largo de este apartado nos centraremos en los siguientes puntos:

• ¿Qué es el potencial eléctrico en un punto?
• ¿A que se le llaman superficies equipotenciales?
• Potencial eléctrico creado por una carga puntual
• Potencial eléctrico creado por varias cargas puntuales
• ¿Qué es la diferencia de potencial?
• ¿Cómo se relacionan la intensidad del campo eléctrico y el potencial eléctrico?
• ¿Cómo se mueven las cargas en el seno de un campo eléctrico?

Potencial Eléctrico

El potencial eléctrico en un punto del espacio es una magnitud escalar que nos permite obtener una medida del campo eléctrico en dicho punto a través de la energía potencial electrostática que adquiriría una carga si la situasemos en ese punto.

El hecho de que todas las magnitudes sean escalares, permite que el estudio del campo eléctrico sea más sencillo. De esta forma, si conocemos el valor del potencial eléctrico V en un punto, podemos determinar que la energía potencial eléctrica de una carga q situada en él es:

$$E_p=V·q$$

Superficies equipotenciales

Aquellos puntos contiguos donde el valor del potencial eléctrico es el mismo, reciben el nombre de superficie equipotencial. Cada punto de una superficie equipotencial se caracteriza por que:

• El campo eléctrico es perpendicular a la superficie en dicho punto y se dirige hacia valores decrecientes de potencial eléctrico
• Cada punto solo puede pertenecer a una superficie equipotencial, ya que el potencial eléctrico es un único valor en cada punto.

Potencial eléctrico creado por una carga puntual

Tal y como estudiamos en el apartado de intensidad del campo eléctrico, una única carga q es capaz de crear un campo eléctrico a su alrededor. Si en dicho campo introducimos una carga testigo q' entonces, atendiendo a la definición de energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales:

$$V=\frac{E_p}{q\text{'}}=\frac{K·{\displaystyle \frac{q·q\text{'}}{r}}}{q\text{'}}\Rightarrow V=K·\frac{q}{r}$$

Si observas detenidamente la expresión puedes darte cuenta de que:

• Si la carga q es positiva, la energía potencial es positiva y el potencial eléctrico V es positivo.
• Si la carga q es negativa, la energía el potencial es negativa y el potencial eléctrico V es negativo.
• Si no existe carga, la energía potencial y el potencial eléctrico es nulo.
• El potencial eléctrico no depende de la carga testigo q' que introducimos para medirlo.

Potencial eléctrico creado por varias cargas puntuales

Si el campo eléctrico es creado por varias cargas puntuales, el potencial eléctrico en un punto sigue el principio de superposición:

Diferencia de Potencial Eléctrico

Si dos puntos de un campo eléctrico poseen distinto potencial eléctrico, entre ambos puntos existe lo que se denomina una diferencia de potencial o tensión, ΔV. Este valor se encuentra íntimamente relacionado con el trabajo eléctrico. Por definición, el trabajo que debe realizar un campo eléctrico para trasladar una carga q desde un punto A a otro B dentro del campo se obtiene por medio de la siguiente expresión:

Si aplicamos la definición de potencial eléctrico, obtenemos que:

$$W_e(A\to B)=E_{pA}-E_{pB}=q·V_A-q·V_B = q·(V_A-V_B)$$

Relación entre Potencial Eléctrico y Campo Eléctrico

Partiendo de la fórmula del trabajo eléctrico es posible obtener una expresión que relacione el campo eléctrico E con el potencial eléctrico V de la siguiente forma:

$$\begin{gathered} W_e(A\to B)={\int }_A^B{\overrightarrow{F}}_e·d\overrightarrow{l} = -\left(E_{p_B}-E_{p_A}\right) \Rightarrow \\ {\int }_A^{B}q·\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{l} = -\left(q·V_B-q·\hspace{0.17em}{V}_A\right) \Rightarrow \\ \boxed{{\int }_A^B\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{l}=-(V_B-V_A)} \end{gathered}$$

Teniendo en cuenta la expresión anterior podemos deducir las siguientes cuestiones:

Cuestión 1

Si en una región del espacio no hay campo eléctrico implica que el potencial eléctrico es constante en toda esa región, de forma que tomados dos puntos cualesquiera A y B de dicha región se cumple que V_A = V_B.

Cuestión 2

El campo eléctrico es perpendicular en cada punto de una superficie equipotencial, ya que V_A = V_B y esto implica que:

$$\begin{gathered} V_A = V_B \to {\int }_A^B\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{l}=-(V_A-V_A) \Rightarrow \\ {\int }_A^B\overrightarrow{E}·d\overrightarrow{l}=0 \Rightarrow \\ \overrightarrow{E}·d\overrightarrow{l}= 0 \end{gathered}$$

Si el producto escalar es nulo quiere decir que E y dl son perpendiculares:

$$\boxed{\overrightarrow{E}\perp d\overrightarrow{l}}$$

Cuestión 3

En el seno de un campo eléctrico uniforme, si tomamos su dirección en el eje X (en sentido positivo) se cumple que:

Por tanto, si disponemos de un campo eléctrico uniforme, el potencial eléctrico disminuye uniformemente a medida que nos alejamos en la dirección del propio campo, ya que:

$$E=-\frac{\Delta V}{\Delta x}$$

Si consideramos que el desplazamiento es infinitesimal dx, obtenemos que:

$$E=-\frac{dV}{dx}$$

Por tanto, su expresión vectorial sería:

$$\overrightarrow{E}=-\frac{dV}{dx}·\overrightarrow{i}$$

De esta forma, hemos obtenido la intensidad del campo eléctrico a partir del potencial eléctrico en el eje x. Sin embargo, lo más común es que el potencial varíe en función de las tres coordenadas x,y,z. De esta forma, podemos expresar la intensidad del campo eléctrico:

$$E_x=-\frac{\partial V}{\partial x} ⋮ E_y=-\frac{\partial V}{\partial y} ⋮E_z=-\frac{\partial V}{\partial z}$$

Y por tanto:

$$\overrightarrow{E}=-\left(\frac{\partial V}{\partial x}·\overrightarrow{i} +\frac{\partial V}{\partial y}·\overrightarrow{j}+\frac{\partial V}{\partial z}·\overrightarrow{k}\right)$$

Cuestión 4

Observando la ecuación anterior, podemos deducir que la intensidad del campo eléctrico puede ser definida con una nueva unidad voltio/metro (V/m).

Potencial Eléctrico y el Movimiento de las Cargas

Si analizamos detenidamente la expresión de la diferencia de potencial:

$$V_B-V_A=\frac{-W_e(A\to B)}{q}$$

Tal y como vimos en el tema del trabajo eléctrico, el trabajo realizado por una fuerza eléctrica para desplazar una carga q desde un punto A a otro B, sin presencia de fuerzas externas, es un valor positivo. Si estudiamos que ocurre si la carga q es positiva o negativa, obtenemos que:

Por tanto:

• Las cargas positivas se mueven desde zonas de mayor potencial eléctrico a zonas de menor potencial eléctrico.
• Las cargas negativas se mueven desde zonas de menor potencial eléctrico a zonas de mayor potencial eléctrico.

Teniendo en cuenta que tal y como estudiamos en el apartado de intensidad del campo eléctrico, las cargas positivas se mueven en el sentido de dicha intensidad entonces, la intensidad de campo eléctrico se dirige siempre desde zonas de mayor potencial a zonas de menor potencial.

Enfoque energético

Desde el punto de vista de la energía mecánica, si sobre las cargas únicamente actúa la fuerza eléctrica, dicha fuerza es conservativa. Esto implica que la energía mecánica de la partícula entre dos posiciones A y B debe ser la misma o dicho de otra forma, la variación de energía mecánica entre A y B es 0 (no cambia).

$$\begin{gathered} \Delta E_m = 0 \Rightarrow \\ \Delta E_c+\Delta E_p = 0 \Rightarrow \\ \Delta E_c = -\Delta E_p \Rightarrow \\ \boxed{\Delta E_c =-q·\Delta V} \end{gathered}$$

Esto implica que siempre que una partícula se encuentra en una zona donde existe una diferencia de potencial, esta adquirirá energía cinética.