Ley de Biot-Savart

Los campos magnéticos pueden ser generados por cargas individuales en movimiento y en grupo (corrientes eléctricas). Si bien en el apartado anterior nos centramos en el campo generado por cargas puntuales en movimiento, en este abordaremos el estudio del campo creado por una corriente eléctrica. En concreto nos centraremos en:

• El campo generado por una corriente eléctrica cualquiera
• El campo generado por una corriente eléctrica rectilínea
• El campo generado por una corriente eléctrica que circula por una espira
• El principio de superposión de los campos magnéticos

Campo magnético creado por una corriente eléctrica cualquiera

Jean Baptiste Biot (1774-1862) y Félix Savart (1791-1841) establecierón poco después de que Oersted (1777-1851) divulgara su experiencia, que al igual que una carga origina un campo eléctrico o una masa un campo gravitatorio, un elemento de corriente genera un campo magnético. Un elemento de corriente es la intensidad que fluye por una porción tangente al hilo conductor de longitud infinitesimal y cuyo sentido es el de la corriente eléctrica ($d\overrightarrow{l}$). Su expresión viene dada por $I·d\overrightarrow{l}$

$$\begin{gathered} I·d\overrightarrow{l}=\frac{dq}{dt}·d\overrightarrow{l}=dq·\frac{d\overrightarrow{l}}{dt}=dq·\overrightarrow{v} \Rightarrow \\ I·d\overrightarrow{l}=dq·\overrightarrow{v} \end{gathered}$$

Su módulo se puede calcular por medio de la siguiente expresión:

$$B=\frac{{\mu }_0·I}{4·\pi }{\int }_l\frac{dl·\sin \alpha }{r^2}$$

Campo magnético creado por una corriente eléctrica rectilínea

Si en vez de una corriente eléctrica indefinida disponemos de una corriente en línea recta, el cálculo del campo magnético creado por dicha corriente se simplifica enormemente.

El valor del campo magnético creado por una corriente rectilínea en un punto P se obtiene por medio de la siguiente expresión:

Las líneas de campo creadas por este tipo de corriente son circunferencias concéntricas al conductor y perpendiculares a él. Esto implica que la dirección del campo magnético sea tangente a ellas en cada punto y su sentido venga dado por la regla de la mano derecha. La regla de la mano derecha determina que si usamos el pulgar de dicha mano para indicar el sentido de la intensidad de corriente, el resto de dedos nos indicará el sentido del campo magnético.

Comprobación

Si aplicamos la definición de campo magnético en un punto P creado por una corriente cualquiera, obtenemos que:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0·I}{4·\pi }{\int }_l\frac{d\overrightarrow{l}\times {\overrightarrow{u}}_r}{r^2}$$

Si observamos, el producto vectorial de $d\overrightarrow{l}$ y $\overrightarrow{r}$ provocará que $\overrightarrow{B}$ tenga la dirección perpendicular a tu pantalla orientado hacia dentro. En este caso el módulo se obtiene por medio de la siguiente expresión:

$$\begin{gathered} B=\frac{{\mu }_0·I}{4·\pi }{\int }_l\frac{\left|d\overrightarrow{l}\times {\overrightarrow{u}}_r\right|}{r^2}\Rightarrow \\ B=\frac{{\mu }_0·I}{4·\pi }{\int }_l\frac{I·dl·\sin \alpha }{r^2} \end{gathered}$$

Estudiando de forma gráfica que ocurre con un elemento de corriente cualquiera, podemos representar la situación de la siguiente forma:

De la figura anterior se pueden deducir las siguientes equivalencias:

$$\begin{gathered} \sin \alpha = \cos \beta \\ ds=r·d\beta \\ dl=\frac{ds}{\cos \beta } \\ R=r·\cos \beta \end{gathered}$$

Por lo que simplificando:

$$\frac{dl·\sin \alpha }{r^2}=\frac{dl·\cos \beta }{r^2}=\frac{ds}{r^2}=\frac{r·d\beta }{r^2}=\frac{\cos \beta ·d\beta }{R}$$

Aplicando esta expresión al cálculo del módulo del campo magnético, podemos deducir que:

$$\begin{gathered} B=\frac{{\mu }_0·I}{4·\pi }·{\int }_L\frac{dl·\sin \alpha }{r^2}\Rightarrow \\ B=\frac{{\mu }_0·I}{4·\pi ·R}·{\int }_{-\raisebox{1ex}{$\pi $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}^{+\pi /2}\cos \beta ·d\beta \Rightarrow \\ B=\frac{{\mu }_0·I}{4·\pi ·R}·[\sin \beta {]}_{-\pi /2}^{+\pi /2}\Rightarrow \\ B=\frac{{\mu }_0·I}{2·\pi ·R} \end{gathered}$$

Campo magnético creado por una corriente eléctrica que circula por una espira

El valor del campo magnético en el centro de una espira circular creado por una corriente eléctrica se obtiene por medio de la siguiente expresión:

Las líneas de campo creadas por este tipo de corriente son circunferencias concéntricas en cada punto del conductor, de tal forma que en el centro de la espira el campo magnético es perpendicular a la espira y el sentido se obtiene aplicando la regla de la mano derecha. Recuerda que como hemos dicho antes, la regla de la mano derecha determina que si usamos el pulgar de dicha mano para indicar el sentido de la intensidad de corriente, el resto de dedos nos indicarán el sentido del campo magnético.

Independientemente de cual sea el sentido de la intensidad de la corriente eléctrica, las líneas de campo saldrán por una cara de la espira y entrarán por otra. La cara por la que salen recibe el nombre de cara norte y por la que entran cara sur, al igual que ocurre con un imán.

Comprobación

Aplicando la ley de Biot y Savart, la dirección y sentido del campo magnético en el centro de la espira vendrá dado por el producto vectorial entre $d\overrightarrow{l}$ y $\overrightarrow{r}$:

$$\begin{gathered} B=\frac{{\mu }_0}{4·\pi }·\int \frac{\left|I·d\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r}\right|}{r^3}\Rightarrow \\ B=\frac{{\mu }_0}{4·\pi }·\int \frac{I·dl·r·\sin 90º}{r^3} \Rightarrow \\ B=\frac{{\mu }_0·I}{4·\pi ·R^2}·\int dl\Rightarrow \\ B=\frac{{\mu }_0·I}{4·\pi ·R^2}·2·\pi ·R\Rightarrow \\ B=\frac{{\mu }_0·I}{2·R} \end{gathered}$$

Principio de superposición del campo magnético

El campo magnético cumple lo que se denomina principio de superposición: