Reglas de Derivación

La función derivada es aquella que, en cada punto de abscisa x, asocia a una determinada función f(x), el valor de su variación instantána. En este apartado vamos a presentar las reglas que seguiremos normalmente para su cálculo. Lo haremos a través de los siguientes puntos:

• Tabla resumen
• Derivadas de funciones elementales
  • Función constante
  • Función identidad
  • Función potencial
  • Constante por una función
  • Función raíz
  • Función logaritmo neperiano
  • Función logaritmo de base a
  • Función e elevado a x
  • Función exponencial
  • Función seno
  • Función coseno
  • Función tangente
  • Función arcoseno
  • Función arcocoseno
  • Función arcotangente
• Derivadas de operaciones con funciones
  • Derivada de la suma y la resta
  • Derivada del producto
  • Derivada del cociente
  • Derivada de la función compuesta

¿Empezamos?

Tabla resumen

Si eres de los que comienza a leer un libro echando un ojo a su última página, te ahorramos que bajes hasta el final de esta, y te presentamos aquí un cuadro resumen con las reglas de derivación. Observa que en las columnas situadas más a la izquierda tenemos los casos más sencillos posibles de cada tipo. Así, por ejemplo, el tipo de la función potencial más simple es que la x esté elevada a un número (f(x)=xⁿ ⇒ f'(x)=nx^n-1). En las dos columnas derechas, el caso de que, en lugar de x tengamos una función f(x).

Hemos marcado con un asterisco aquellos tipos que consideramos fundamentales, y que debes aprender. Memoriza solo los casos con x (columnas izquierdas), y aplica lo siguiente para deducir las dos columnas derecha: "si en lugar de x tengo f(x), sustituyo x por f(x) en la regla que corresponda, y multiplico por f'(x)". Se trata de la regla de la cadena, que estudiaremos más abajo.

Además, también es importante que conozcas las reglas para las operaciones con derivadas.

Finalmente, dedicaremos otros apartados del tema a tratar técnicas de derivación habituales, como la derivación logarítmica o la implícita. Estudiando bien estas tablas, los ejercicios relacionados y las citadas técnicas no habrá derivada que se te pueda resistir.

Funciones elementales

Derivada de una constante

Grafica de la derivada de la función constante

A la izquierda, una función constante. A la derecha, su derivada, que es cero. Recuerda que la pendiente de cualquier constante es 0 en cualquier punto, de ahí que su derivada, que representa la pendiente de la recta tangente, sea también 0.

Ejemplo

$$f\left(x\right)=-3\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0$$

Demostración

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=k \\ f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{k-k}{h}=0 \end{gathered}$$

Derivada de la función identidad

Grafica de la derivada de x

A la izquierda, la función identidad. A la derecha, su derivada, que es 1. Observa que la pendiente de la función identidad es siempre 1, de ahí que su derivada sea también 1 para cualquier x.

Ejemplo

$$f\left(x\right)=x\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=1$$

Demostración

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x \\ f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x+h-x}{h}=1 \end{gathered}$$

Derivada de una función potencial

Grafica de la derivada de un polinomio

Los polinomios pueden ser considerados un tipo concreto de función potencial. Concretamente, cada vez que se deriva uno de estos, obtenemos un polinomio de un grado una unidad menor. Así, en la figura tenemos el caso de dos polinomios sencillos del tipo xⁿ, denominados monomios. En 1, tenemos una parábola f(x)=x², que es un polinomio de grado 2. Al derivarla, en 2, obtenemos un polinomio de grado 1. En el caso de 3 tenemos un polinomio de grado 3. Al derivarlo, en 4, obtenemos una parábola (polinomio de grado 2).

Observa que, bajo esta categoría, y aplicando las propiedades de las potencias, podemos englobar las funciones radicales y aquellas de exponente negativo, pero también la podemos aplicar a la propia función identidad.

Ejemplo

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^3\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3·x^{3-1}=3x^2 \\ f\left(x\right)=\sqrt{x}\Rightarrow f\left(x\right)\underset{\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}}{=}{x}^{\frac{1}{2}}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}·x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\underset{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}{=}\frac{1}{2x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}\underset{\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}}{=}\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ f\left(x\right)=\frac{1}{x}\Rightarrow f\left(x\right)\underset{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}{=}{x}^{-1}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-1·x^{-1-1}=-x^{-2}\underset{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}{=}-\frac{1}{x^2} \\ f\left(x\right)=x\Rightarrow f\left(x\right)=x^1\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=1·x^{1-1}=x^0\underset{a^0=1}{=}1 \end{gathered}$$

Demostración

Para comprobar la fórmula anterior supondremos que n es un número natural. El resultado se mantiene cuando n es cualquier número real, pero lo dejamos como ejercicio propuesto. Así pues, comenzamos aplicando la propia definición de función derivada:

$$f\left(x\right)=x^n\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+h\right)}^n-x^n}{h}$$

Para poder seguir debemos desarrollar la expresión (x+h)ⁿ. Recuerda que para ello usamos el teorema del binomio o binomio de Newton:

$${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)a^{n-k}{b}^k=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)a^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)a^{n-1}b+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)a^{n-2}{b}^2+\dots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)a·b^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)b^n$$

Con lo que la derivada nos queda:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+h\right)}^n-x^n}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)x^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)x^{n-1}h+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^{n-2}{h}^2+\dots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)x·h^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^n-x^n}{h}\underset{\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=1\\ \left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)=n\end{array}}{=} \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cancel{x^n}+n·x^{n-1}h+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^{n-2}{h}^2+\dots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)x·h^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^n-\cancel{x^n}}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cancel{h}·n·x^{n-1}}{\cancel{h}}+\underset{h\to 0}{\lim }\cancel{\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^{n-2}h+\dots +\left(\begin{array}{c}n\\ n-1\end{array}\right)x·h^{n-2}+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^{n-1}}=n·x^{n-1} \end{gathered}$$

Derivada de una constante por una función

Ejemplo

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=4x^2\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=4·2·x^{2-1}=8x \\ f\left(x\right)=-3x\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-3·1·x^{1-1}=-3x^0\underset{a^0=1}{=}-3 \end{gathered}$$

Demostración

Recuerda que, en el caso de los límites, se cumple que, al multiplicarlos por una constante, el resultado es igual que la constante por el valor del límite, tal y como veíamos en las propiedades de los límites. Dado que una derivada no es más que un límite, también se cumple esta propiedad.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=k·x^n\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{k{\left(x+h\right)}^n-k{x}^n}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{k\left[{\left(x+h\right)}^n-x^n\right]}{h}= \\ =k\underset{h\to 0}{·\lim }\frac{{\left(x+h\right)}^n-x^n}{h}\underset{\text{Comprobación anterior}}{=}k·n·x^{n-1} \end{gathered}$$

Derivada de una función raíz

Así pues, para el caso de la raíz cuadrada:

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{x}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}}$$

Ejemplo

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\sqrt{x}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt{x^2}} \end{gathered}$$

Demostración

Como sabes, las raíces pueden ser reescritas como potencias, con lo que:

$$f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}\underset{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}{\Rightarrow }f\left(x\right)=x^{\frac{1}{n}}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{n}{x}^{\frac{1}{n}-1}=\frac{1}{n}{x}^{\frac{-\left(n-1\right)}{n}}\underset{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}{=}\frac{1}{n·x^{{\displaystyle \frac{n-1}{n}}}}\underset{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}{=}\frac{1}{n·\sqrt[n]{x^{n-1}}}$$

Derivada del logaritmo neperiano

Recuerda, un logaritmo neperiano, abreviado ln no es más que un logaritmo cuya base es el número e, log_e.

Ejemplo

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\ln \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x} \\ f\left(x\right)=3·\ln \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3·\frac{1}{x} \\ f\left(x\right)=\ln \left(\frac{1}{x}\right)\underset{\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)}{\Rightarrow }f\left(x\right)=\ln \left(1\right)-\ln \left(x\right)\underset{\ln \left(1\right)=0}{=}-\ln \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{x} \end{gathered}$$

Observa las transformaciones aplicadas en el último ejemplo. En ocasiones es necesario transformar la función original para poder aplicar una determinada regla.

Demostración

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\ln \left(x\right) \\ f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(x+h\right)-\ln \left(x\right)}{h}\underset{\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)=\ln \left(\frac{a}{b}\right)}{=}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln \left({\displaystyle \frac{x+h}{x}}\right)}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}·\ln \left(\frac{x+h}{x}\right)\underset{b\ln \left(a\right)=\ln {\left(a\right)}^b}{=}\underset{h\to 0}{\lim }\ln {\left(\frac{x+h}{x}\right)}^{\frac{1}{h}} \end{gathered}$$

Ahora recuerda que, tal y como ya hemos visto en las propiedades de los límites...

$$\lim \left({\log }_a\left(f\right)\right)={\log }_a\left(\lim \left(f\right)\right)$$

...con lo que:

$$\underset{h\to 0}{\lim }\ln {\left(\frac{x+h}{x}\right)}^{\frac{1}{h}}=\ln \left(\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{x+h}{x}\right)}^{\frac{1}{h}}\right)$$

Para resolver ese límite, buscamos el número e, tal y como veíamos al resolver las indeterminaciones de tipo 1^∞, recordando que:

$$\underset{\text{algo}\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{algo}\right)}^{algo}=e$$

Con lo que nos queda:

$$\begin{gathered} \ln \left(\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{x+h}{x}\right)}^{\frac{1}{h}}\right)=\ln \left(\underset{h\to 0}{\lim }{\left(1+\frac{1}{{\displaystyle \frac{x}{h}}}\right)}^{\frac{1}{h}}\right)= \\ =\ln \left(\underset{h\to 0}{\lim }{\left(1+\frac{1}{{\displaystyle \frac{x}{h}}}\right)}^{\frac{x}{h}\frac{1}{x}}\right)=\ln \left(e^{\frac{1}{x}}\right)=\frac{1}{x}\ln \left(e\right)=\frac{1}{x} \end{gathered}$$

Derivada del logaritmo en base a

Observa que, el caso del logaritmo neperiano visto anteriormente, es un caso particular de este, en el que a=e:

$$f\left(x\right)=\ln \left(x\right)={\log }_e\left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}{\log }_e\left(e\right)=\frac{1}{x}$$

Grafica de la derivada logarítmica

A la izquierda, la función logaritmo neperiano. A la derecha, su derivada, que es una hipérbola. Recuerda que $Do{m}_{f\text{'}}\subseteq Do{m}_f$. Como puedes ver, Dom_f = (0, ∞), con lo que el dominio de la función derivada queda restringido: Dom_f' = (0, ∞).

Ejemplo

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={\log }_2\left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}{\log }_2\left(e\right) \\ f\left(x\right)=3·{\log }_2\left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3·\frac{1}{x}{\log }_2\left(e\right) \end{gathered}$$

Demostración

El desarrollo es similar al caso anterior, pero considerando un logaritmo de base genérica a.

Derivada de e elevado a x

Ejemplo

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3e^x\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3e^x \\ f\left(x\right)=e^x\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-e^x \end{gathered}$$

Para demostrar esta regla es necesario hacer uso de la derivación logarítmica, que veremos en un apartado posterior.

Derivada de la función exponencial

Observa que estamos ante una regla que engloba el caso de f(x)=e^x.

Grafica de la derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial es otra función exponencial, escalada verticalmente por un factor ln(a). A la izquierda, función exponencial 2^x, y a la derecha su derivada.

Ejemplo

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3^x\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3^x·\ln \left(3\right) \\ f\left(x\right)=e^x\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=e^x·\ln \left(e\right)=e^x \end{gathered}$$

Para demostrar esta regla también es necesario hacer uso de la derivación logarítmica.

Derivada del seno

Grafica de la derivada del seno

A la izquierda, en rojo, la función seno de x. A la derecha, en verde, su derivada, la función coseno de x.

Ejemplo

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3·\sin \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3·\cos \left(x\right) \\ f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}·\cos \left(x\right) \end{gathered}$$

Demostración

Aplicando la definición de derivada:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\sin \left(x\right) \\ f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x+h\right)-\sin \left(x\right)}{h} \end{gathered}$$

Ahora, recordando las identidades trigonométricas, sabemos que...

$$\sin A+\sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2}·\cos \frac{A-B}{2}$$

... y así podemos transformar la diferencia de senos en un producto, quedando:

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x+h\right)-\sin \left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2\cos \left(\frac{x+h+x}{2}\right)\sin \left(\frac{x+h-x}{2}\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos \left(x+\frac{h}{2}\right)\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{{\displaystyle \frac{h}{2}}}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\cos \left(x+\frac{h}{2}\right)\frac{\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{{\displaystyle \frac{h}{2}}} \end{gathered}$$

Ahora vamos a adelantarnos a un resultado que obtendremos cuando estudiemos los infinitésimos equivalentes:

$$\sin \left(x\right)\approx x \text{si} x\to 0$$

Con lo que podemos escribir

$$\underset{h\to 0}{\lim }\cos \left(x+\frac{h}{2}\right)\frac{\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{{\displaystyle \frac{h}{2}}}\underset{\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{{\displaystyle \frac{h}{2}}}=1}{=}\underset{h\to 0}{\lim }\cos \left(x+\frac{h}{2}\right)·1=\cos \left(x\right)$$

Derivada del coseno

Grafica de la derivada del coseno

A la izquierda, en rojo, la función coseno de x. A la derecha, en verde, su derivada, la función menos seno de x.

Ejemplo

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3·\cos \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-3·\sin \left(x\right) \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\cos \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{2}·\left(-\sin \left(x\right)\right)=\frac{1}{2}·\sin \left(x\right) \end{gathered}$$

Demostración

Se trata de un proceso similar a la derivada del seno. Observa, partimos de la definición de derivada:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\cos \left(x\right) \\ f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos \left(x+h\right)-\cos \left(x\right)}{h} \end{gathered}$$

Ahora, recordando las identidades trigonométricas, sabemos que...

$$\cos A-\cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2}·\sin \frac{A-B}{2}$$

... y así podemos transformar la diferencia de cosenos en un producto, quedando:

$$\begin{gathered} \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos \left(x+h\right)-\cos \left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-2\sin \left(\frac{x+h+x}{2}\right)\sin \left(\frac{x+h-x}{2}\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-\sin \left(x+\frac{h}{2}\right)\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{{\displaystyle \frac{h}{2}}}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }-\sin \left(x+\frac{h}{2}\right)\frac{\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{{\displaystyle \frac{h}{2}}} \end{gathered}$$

Ahora ya hemos señalado que:

$$\sin \left(x\right)\approx x \text{si} x\to 0$$

Con lo que podemos escribir...

$$\underset{h\to 0}{\lim }-\sin \left(x+\frac{h}{2}\right)\frac{\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{{\displaystyle \frac{h}{2}}}\underset{\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{{\displaystyle \frac{h}{2}}}=1}{=}\underset{h\to 0}{\lim }-\sin \left(x+\frac{h}{2}\right)·1=-\sin \left(x\right)$$

Derivada de la tangente

Ejemplo

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=2·\tan \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{{\cos }^2\left(x\right)} \\ f\left(x\right)=-2·\tan \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-2·\left(1+{\tan }^2\left(x\right)\right)=-2-2·{\tan }^2\left(x\right) \\ f\left(x\right)=-\tan \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-{\sec }^2\left(x\right) \end{gathered}$$

Demostración

Podemos demostrar fácilmente esta regla si tenemos en cuenta la propia definición de tangente en función del seno y del coseno, tan(x)=sin(x)/cos(x), pero para ello es necesario que adelantemos el cálculo de la derivada de un cociente de funciones, que veremos en detalle más abajo:

$$D\left(\frac{f}{g},=,\frac{f\text{'}·g-f·g\text{'}}{g^2}\right)$$

Con lo que nos queda:

$$D\left(\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}\right)=\frac{\cos \left(x\right)·\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)·\left(-\sin \left(x\right)\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}\underset{{\sin }^2\left(a\right)+{\cos }^2\left(a\right)}{=}\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}$$

Que también puede ser reescrito:

$$\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}\underset{{\sin }^2\left(a\right)+{\cos }^2\left(a\right)}{=}\frac{{\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}=\frac{{\sin }^2\left(x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}+\frac{{\cos }^2\left(x\right)}{{\cos }^2\left(x\right)}={\tan }^2\left(x\right)+1$$

Y que también puede ser reescrito:

$$\frac{1}{{\cos }^2\left(x\right)}={\left(\frac{1}{\cos \left(x\right)}\right)}^2\underset{\sec \left(a\right)=\frac{1}{\cos \left(a\right)}}{=}{\sec }^2\left(x\right)$$

Derivada del arcoseno

Ejemplo

$$f\left(x\right)=3·\mathrm{arc} \sin \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=3·\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Para demostrar esta regla es necesario hacer uso de la regla de la cadena, con lo que lo demostraremos en el apartado correspondiente.

Derivada del arcocoseno

Ejemplo

$$f\left(x\right)=-3·\mathrm{arc} \cos \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=-3·\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$$

Para demostrar esta regla es necesario hacer uso de la regla de la cadena, con lo que lo demostraremos en el apartado correspondiente.

Derivada del arcotangente

Ejemplo

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{4}·\mathrm{arc} \tan \left(x\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{4}·\frac{1}{1+x^2}$$

Para demostrar esta regla es necesario hacer uso de la regla de la cadena, con lo que lo demostraremos en el apartado correspondiente.

Operaciones con derivadas

Dado que la derivada de una función es, por definición, un límite, se cumplen las mismas propiedades que en ellos cuando se operan con funciones. Así pues:

Derivada de la suma y resta de funciones

Ejemplo

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=3x^2\\ g\left(x\right)=2x\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}D\left(f+g\right)=D\left(3x^2+2x\right)=D\left(3x^2\right)+D\left(2x\right)=6x+2\\ D\left(f-g\right)=D\left(3x^2-2x\right)=D\left(3x^2\right)-D\left(2x\right)=6x-2\end{array}$$

Demostración

$$\begin{gathered} D\left(f+g\right)\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(f+g\right)\left(x+h\right)-\left(f+g\right)\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)+g\left(x+h\right)-\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}=f\text{'}\left(x\right)+g\text{'}\left(x\right) \\ D\left(f-g\right)\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(f-g\right)\left(x+h\right)-\left(f-g\right)\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-g\left(x+h\right)-\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)}{h}= \\ \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}=f\text{'}\left(x\right)-g\text{'}\left(x\right) \end{gathered}$$

Derivada del producto

Ejemplo

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=3x^2\\ g\left(x\right)=\ln \left(x\right)\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=6x\\ g\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}\end{array}\Rightarrow D\left(f·g\right)=6x·\ln \left(x\right)+3x^2·\frac{1}{x}$$

Comprobación

$$\begin{gathered} D\left(f·g\right)\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(f·g\right)\left(x+h\right)-\left(f·g\right)\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)·g\left(x+h\right)-f\left(x\right)·g\left(x\right)}{h}\underset{\frac{\dots +f\left(x+h\right)·g\left(x\right)-f\left(x+h\right)·g\left(x\right)}{h}}{=} \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)·g\left(x+h\right)-f\left(x\right)·g\left(x\right)+f\left(x+h\right)·g\left(x\right)-f\left(x+h\right)·g\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)·\left[g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right]}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left[f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right]g\left(x\right)}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }f\left(x+h\right)·\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left[g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right]}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left[f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right]}{h}·\underset{h\to 0}{\lim }g\left(x\right)=f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)+f\text{'}\left(x\right)·g\left(x\right) \end{gathered}$$

Derivada del cociente

Ejemplo

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=3x^2\\ g\left(x\right)=\ln \left(x\right)\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=6x\\ g\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x}\end{array}\Rightarrow D\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{6x·\ln \left(x\right)-3x^2·\frac{1}{x}}{{\ln }^2\left(x\right)}=\frac{3x·\left(2·\ln \left(x\right)-1\right)}{{\ln }^2\left(x\right)}$$

Demostración

Para comprobar esta regla tendremos en cuenta que el cociente de divisiones se puede expresar como un caso particular del producto, así pues, podemos aplicar la regla del producto, ya demostrada. Observa:

$$D\left(\frac{f}{g}\right)=D\left(f·\frac{1}{g}\right)=f\text{'}·\frac{1}{g}+f·D\left(\frac{1}{g}\right)$$

Para resolver D(1/g) podremos hacer uso de la regla de la cadena, pero como todavía no la hemos introducido, usaremos la propia definición de derivada para su cálculo:

$$\begin{gathered} u\left(x\right)=\frac{1}{g\left(x\right)}\Rightarrow D\left(\frac{1}{g\left(x\right)}\right)=D\left(u\left(x\right)\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u\left(x+h\right)-u\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{g\left(x+h\right)}}-{\displaystyle \frac{1}{g\left(x\right)}}}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle g\left(x\right)-g\left(x+h\right)}}{\left[g\left(x+h\right)·g\left(x\right)\right]h}=\underset{-g\text{'}\left(x\right)}{\underbrace{\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle g\left(x\right)-g\left(x+h\right)}}{h}}}·\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle 1}}{\left[g\left(x+h\right)·g\left(x\right)\right]}=\frac{-g\text{'}\left(x\right)}{{\left(g\left(x\right)\right)}^2} \end{gathered}$$

Con lo que nos queda:

$$D\left(\frac{f}{g}\right)=D\left(f·\frac{1}{g}\right)=f\text{'}·\frac{1}{g}+f·D\left(\frac{1}{g}\right)=f\text{'}·\frac{1}{g}+f·\frac{-g\text{'}}{g^2}=\frac{f\text{'}·g-f·g\text{'}}{g^2}$$

Derivada de la composición

Recuerda, en primer lugar, que la función compuesta se obtiene aplicando una función a las imágenes de otra. El siguiente es un ejemplo de f compuesta con g:

$$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left[f\left(x\right)\right]\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=3x\\ g\left(x\right)=\sqrt{x+1}\end{array}\Rightarrow \right.\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left[f\left(x\right)\right]=\sqrt{3x+1}$$

Estudiaremos con más profundidad esta regla en su propio apartado, ya que supone la base para derivar funciones complejas. Tal y como veíamos en la tabla resumen, más arriba, esta regla nos permite decir "si en lugar de x tengo f(x), sustituyo x por f(x) en la regla que corresponda, y multiplico por f'(x)".

Ejemplo

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={\underset{g\left(x\right)}{\underbrace{\left(\sin \left(x\right)\right)}}}^2\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2{\left(\sin \left(x\right)\right)}^{2-1}·\underset{g\text{'}\left(x\right)}{\underbrace{\cos \left(x\right)}}=2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right) \\ f\left(x\right)=\ln \underset{g\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2\right)}}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{x^2}·\underset{g\text{'}\left(x\right)}{\underbrace{2x}}=\frac{2}{x} \end{gathered}$$