Habilidades
  • Matemáticas básicas

Ficha de contenidos

Durante varios siglos, existieron dos problemas de naturaleza aparentemente muy distinta que ocuparon la mente de grandes científicos: el cálculo de la velocidad instantánea de un cuerpo y el de la recta tangente a una curva.  Científicos de la talla de Fermat (1601-1655), Leibniz (1646-1716) o Newton (1642-1727) hicieron importantes avances en la resolución de este tipo de problemas, perfilando estos dos últimos una respuesta teórica que apuntaba a la naturaleza similar de ellos: la derivada. Fue Cauchy, a comienzos del S.XIX, basándose en estudios de Euler (1707-1783), quien da el impulso definitivo, permitiendo entender esta como un límite.

En este tema vamos a estudiar las derivadas. Partiendo de la idea de la tasa de variación de una función, llegaremos finalmente a calcular las mismas de una manera sencilla y sistemática.

Para abordar con soltura los contenidos de este tema te recomendamos que estés familiarizado con las funciones y sus límites, además, por supuesto, de conocer las operaciones matemáticas básicas.

Ficha de ejercicios resueltos

Pon a prueba lo que has aprendido en el tema Derivadas con esta lista de ejercicios con sus respectivas soluciones y clasificados por apartados.

Tasa de Variación Media

Tasa de variación media con tabla de valores

dificultad

Dada la siguiente tabla de valores...

f(x) -4 3 0 -2 5
x -2 -1 0 1 2

...determina la tasa de variación media en los siguientes intervalos:

  1. [-2, -1]
  2. [-2, 0]
  3. [-1, 1]
  4. [0, 2]

Calculo de la tasa de variación media

dificultad

Determina la tasa de variación media de las funciones en los intervalos indicados

  1. fx=2x2-3x5  en 5,10
  2. fx=3x+2x-1 en 2, 2+h
  3. fx=x+3 en x,a
  4. fx=x3+x en -3,0
  5. fx=ax2+b en -1, 1

Tasa de variación media en gráficas

dificultad

Calcula la tasa de variación media en los intervalos señalados a partir de la información de las gráficas

Apartado 1 para el cálculo de la tasa de variación media

Función 1

a) [-2,0]

b) [-2,3]

c) [0,4]

Apartado 2 para el cálculo de la tasa de variación media

Función 2

a) [-4,-2]

b) [-2,2]

c) [-4,4]

Apartado 3 para el cálculo de la tasa de variación media

Función 3

a) [-3,-1]

b) [1,3]

c) [-3,3]

Apartado 4 para el cálculo de la tasa de variación media

Función 4

a) [a,b]

Tasa de Variación Instantánea

Tasa de variación instantánea

dificultad

Calcula la tasa de variación instantánea en los siguientes casos.

  1. fx=x2-2 en x=3
  2. fx=1x-1 en x=a
  3. fx=5-x3 en x=3
  4. fx=x+2 en x=1
  5. En la gráfica de la figura, en x=-3:

    Cálculo de tasa de variación instantánea en apartado 5
  6. En la gráfica de la figura, en x=-1:

    Cálculo de tasa de variación instantánea en apartado 6
  7. st=3+5t+8t2 en t=2sg
  8. vt=5+16t en t=1sg

 

Derivada de una Función

Derivadas sucesivas aplicando definición

dificultad

Calcula hasta la 3ª derivada aplicando la definición en la función fx=x33+2x-1

Qué valor tendrá la pendiente de la recta tangente a f(x) en x=3.

Interpretación gráfica de la derivada

dificultad

Calcula f'(-3), f'(2) y f'(-2) a partir de la información de la gráfica de f(x), en rojo, en la siguiente imagen:

Gráfica para interpretar la derivada

Relacionar cada gráfica con su derivada

dificultad

Relaciona cada gráfica de la columna izquierda, con su derivada en la columna derecha.

Gráficas con sus derivadas para asociarlas

Interpretación gráfica avanzada de la derivada

dificultad

Sabiendo que la siguiente gráfica corresponde a la derivada de f(x)f'(x), ¿cuánto vale la pendiente de la recta tangente a f(x) en x=0?

Interpretación de la derivada

Y si la gráfica correspondiese directamente a f(x), ¿cuál será el valor de f'(3)?

¿Cuáles serán los puntos de derivada nula?

¿Cuál es el valor de x si f(x)=-1

Reglas de Derivación

Derivadas sencillas

dificultad

Resuelve las siguientes derivadas inmediatas:

  1. fx=3x2+2x
  2. fx=x+25
  3. fx=sinx-cosx
  4. fx=lnx+ex
  5. fx=3x-1x

Derivadas de productos y cocientes

dificultad

Resuelve las derivadas de las siguientes funciones. Puedes utilizar las reglas para la derivación de multiplicaciones y divisiones de funciones:

  1. fx=x3·cosx
  2. fx=2x2-1x3-x
  3. fx=sinx-2x+2cosx
  4. fx=x3·e-x
  5. fx=sinx+cosxtanx
  6. fx=sinx·lnx·ex
  7. fx=3xx2log2x

Derivadas intermedias

dificultad

Resuelve las siguientes derivadas, de dificultad intermedia:

  1. fx=e2x
  2. fx=sinx+x22
  3. fx=ln1+3x
  4. fx=lnx
  5. fx=esinx+x
  6. fx=arc cossinx

Derivadas Laterales

Cálculo de derivadas laterales

dificultad

Resuelve las siguientes derivadas laterales como creas oportuno:

  1. fx=2x+1 en x=0
  2. fx=ex+1 en x=-3
  3. fx=x2-1six<0-x+2six0 en x=2 y en x=0
  4. fx=x2+ 0,5six<12x2-1six1 en x=1 
  5. fx=x+1x-1 en x=1
  6. fx=xx-2
  7. fx=ax-2six<-1-bx3six-1 en x=-1

Derivada de función en valor absoluto

dificultad

Calcula la siguiente derivada de esta función en valor absoluto:

  1. fx=x-1+x

Derivadas laterales a partir de gráfica

dificultad

Calcula las derivadas laterales a partir de la siguiente gráfica en los puntos de abcisa x1=-2, x2=-1, x3=1, y x4=3.

Calcular derivadas laterales a partir de gráfica

Derivabilidad y Continuidad

Derivabilidad funciones por ramas y en valor absoluto

dificultad

Averigua y explica en qué puntos no son derivables las siguientes funciones:

  1. fx=x2-x-6
  2. fx=x-2
  3. fx=x2-4
  4. fx=x2+2six<0-x+1six0
  5. fx=x2+1six<-1-x+1six-1
  6. fx=x2-x+1six1xsix>1

Derivabilidad según parámetro

dificultad

Determina, si es posible, el valor de los parámetros para que las siguientes funciones sean derivarles en todo su dominio:

  1. fx=ax2+2x+6six<2x3+bx+2six2
  2. fx=x2-ax+b+1six1alnx+1six>1
  3. fx=x+1logx+1si-1<x0a1-e-x+1six>0

Derivabilidad y dominio de derivabilidad

dificultad

Estudia la derivabilidad señalando el dominio de derivabilidad de las siguientes funciones:

  1. fx=x+1
  2. fx=2x+1six<02six=02x+3six>0
  3. fx=ex+1-1six-1x+1e-x+12six<-1
  4. fx=x2-xsix-2yx20six=-2ox=2
  5. fx=lnx-2six<33x-9six3
  6. fx=ex-1six00si0<x<3-x2+3x+1six3

Derivabilidad raíz de x al cubo más x al cuadrado

dificultad

Determina la derivabilidad de la función:

fx=x3+x2

Regla de la Cadena

Derivadas avanzadas

dificultad

Resuelve las siguientes derivadas utilizando la regla de la cadena y las propiedades que consideres oportuno:

  1. fx=x2+4x3·lnx+2x
  2. fx=lncosx1-x
  3. fx=log2sincosarc cosx
  4. fx=2x-3sin2x

Recta Tangente y Recta Normal

Cálculo de la recta tangente y normal a curva

dificultad

Calcula en los siguientes apartados la ecuación de la recta tangente y de la normal a la función f(x) en los puntos indicados:

  1. fx=x+2 en x=2
  2. fx=3-x2 en el punto de abscisas x=-2
  3. fx=x-2ex en el punto en el que se anula la segunda derivada
  4. fx=lnx-3 en x=3
  5. fx=x-35 en x=3
  6. fx=lntan4x en x=π/16

Calcular punto a partir de condiciones de recta tangente a función

dificultad

Determina, para la curva f(x) señalada en cada apartado:

  1. El punto (o puntos) en que la recta tangente a fx=12x tiene una pendiente de -1/8
  2. El punto (o puntos) en que la recta tangente a fx=3x2+3x-2  es paralela a la bisectriz del primer cuadrante
  3. El punto (o puntos) en que la recta tangente a fx=3x2+3x-2  es paralela a la recta 3x-3y+2=0
  4. El punto (o puntos) en que la recta tangente a fx=3x2+3x-2  forma un ángulo de 130º con el semieje x positivo
  5. El punto (o puntos) en que la recta tangente a fx=2x2+x2  es horizontal
  6. El punto (o puntos) en que la recta tangente a fx=lnx  es paralela a la recta que pasa por los puntos (1,1) y (e,2)
  7. El punto (o puntos) en que la recta tangente a fx=2sinx2  tiene por pendiente -4π

Parámetro de función a partir de condiciones en recta tangente

dificultad

Obten el valor de los parámetros de cada función a partir de las condiciones señaladas:

  1. Siendo fx=mx2-4x+12  y sabiendo que la pendiente de la recta tangente en x=1 tiene pendiente 8
  2. Siendo fx=x2+bx+c  y sabiendo:
    • que la función pasa por el punto (2,12)
    • que la pendiente de la recta tangente a f(x) en x=-1 es 1
  3. Siendo fx=ax4+bx2-1  y sabiendo que la pendiente de la recta tangente en el punto (1/2, -3/2) es paralela al eje x

Cálculo de rectas tangentes en punto de intersección de funciones

dificultad

Determina la ecuación de las rectas tangentes a las curvas fx=2x+23-x y gx=2x2-x-3 en el punto de intersección de ambas funciones.

Punto de recta tangente perpendicular a la tangente en otro punto

dificultad

Determina la pendiente de la recta tangente a la curva fx=ln6x-4 en x=3. Posteriormente calcula en qué punto la recta tangente a la curva es perpendicular a la anterior.

Número de rectas tangentes que contienen un punto

dificultad

Determina el número de rectas tangentes a la función fx=x3-4x+1 que contienen al punto (0,2).

Derivada de la Función Inversa

Derivada de las funciones trigonométricas inversas

dificultad

Determina la derivada de las funciones trigonométricas inversas en el punto x=1/2 usando las propiedades de la derivada de la función inversa. Recuerda que las funciones trigonométricas inversas son el arccos(x), el arcsin(x) y la arctan(x).

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del tema Derivadas. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Tasa de Variación Media

Tasa de variación media

T.V.M a, b =fb-fab-aT.V.M a, a+h =fa+h-fah

Tasa de Variación Instantánea

Tasa de variación instantánea

T.V.I.a =limbafb-fab-aT.V.I.a =limh0fa+h-fah

Derivada de una Función

Definición de derivada

f'x=limh0fx+h-fxh

Reglas de Derivación

Derivada de una función constante

fx=kf'x=0

Derivada de una función potencial

fx=xnf'x=n·xn-1 n

Derivada de una constante por una función

gx=k·fxg'x=k·f'x

Derivada de un logaritmo

fx=logaxf'x=1xlogae

Derivada de la función exponencial

fx=axf'x=ax·lna

Derivada del seno

fx=sinxf'x=cosx

Derivada del coseno

fx=cosxf'x=-sinx

Derivada del arcoseno

fx=arc sinxf'x=11-x2

Derivada del arcocoseno

fx=arc cosxf'x=-11-x2

Derivada de la suma y resta de funciones

Df+g=f'+g' ;Df-g=f'-g'

Derivada del producto de funciones

Df·g=f'·g+f·g'

Derivada del cociente de funciones

Dfg=f'·g-f·g'g2

Regla de la cadena

Dgfx=Dgfx=g'fx·f'x

Derivadas Laterales

Derivada por la izquierda en un punto

f'a-=limh0-fa+h-fah

Derivada por la derecha en un punto

f'a+=limh0+fa+h-fah

Derivabilidad y Continuidad

Derivabilidad de una función en un punto

f'a=Llimxa-f'x=Llimxa+f'x=Lf'a=limxaf'x=L

Regla de la Cadena

Regla de la cadena

Dgfx=Dgfx=g'fx·f'x

Recta Tangente y Recta Normal

Recta tangente

y-fa=f'a·x-a

Recta normal

y-fa=-1f'a·x-a

Derivada de la Función Inversa

Derivada de la función inversa

f-1'=1f'f-1

Derivación logarítmica

Función de tipo potencial-exponencial

fx=gxϕx

Derivada de la función potencial-exponencial

f'x=fx·ϕ'x·lngx+ϕx·g'xgx

Función implícita y su derivada

Función implícita

fx,y=0

Ficha de temas relacionados

El tema no se encuentra disponible en otros niveles educativos.