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  • Matemáticas básicas

Ficha de contenidos

Durante varios siglos, existieron dos problemas de naturaleza aparentemente muy distinta que ocuparon la mente de grandes científicos: el cálculo de la velocidad instantánea de un cuerpo y el de la recta tangente a una curva.  Científicos de la talla de Fermat (1601-1655), Leibniz (1646-1716) o Newton (1642-1727) hicieron importantes avances en la resolución de este tipo de problemas, perfilando estos dos últimos una respuesta teórica que apuntaba a la naturaleza similar de ellos: la derivada. Fue Cauchy, a comienzos del S.XIX, basándose en estudios de Euler (1707-1783), quien da el impulso definitivo, permitiendo entender esta como un límite.

En este tema vamos a estudiar las derivadas. Partiendo de la idea de la tasa de variación de una función, llegaremos finalmente a calcular las mismas de una manera sencilla y sistemática.

Para abordar con soltura los contenidos de este tema te recomendamos que estés familiarizado con las funciones y sus límites, además, por supuesto, de conocer las operaciones matemáticas básicas.

Ficha de ejercicios resueltos

Pon a prueba lo que has aprendido en el tema Derivadas con esta lista de ejercicios con sus respectivas soluciones y clasificados por apartados.

Tasa de Variación Media

Tasa de variación media con tabla de valores

dificultad

Dada la siguiente tabla de valores...

f(x) -4 3 0 -2 5
x -2 -1 0 1 2

...determina la tasa de variación media en los siguientes intervalos:

  1. [-2, -1]
  2. [-2, 0]
  3. [-1, 1]
  4. [0, 2]

Calculo de la tasa de variación media

dificultad

Determina la tasa de variación media de las funciones en los intervalos indicados

  1. fx=2x2-3x5  en 5,10
  2. fx=3x+2x-1 en 2, 2+h
  3. fx=x+3 en x,a
  4. fx=x3+x en -3,0
  5. fx=ax2+b en -1, 1

Tasa de variación media en gráficas

dificultad

Calcula la tasa de variación media en los intervalos señalados a partir de la información de las gráficas

Apartado 1 para el cálculo de la tasa de variación media

Función 1

a) [-2,0]

b) [-2,3]

c) [0,4]

Apartado 2 para el cálculo de la tasa de variación media

Función 2

a) [-4,-2]

b) [-2,2]

c) [-4,4]

Apartado 3 para el cálculo de la tasa de variación media

Función 3

a) [-3,-1]

b) [1,3]

c) [-3,3]

Apartado 4 para el cálculo de la tasa de variación media

Función 4

a) [a,b]

Tasa de Variación Instantánea

Tasa de variación instantánea

dificultad

Calcula la tasa de variación instantánea en los siguientes casos.

  1. fx=x2-2 en x=3
  2. fx=1x-1 en x=a
  3. fx=5-x3 en x=3
  4. fx=x+2 en x=1
  5. En la gráfica de la figura, en x=-3:

    Cálculo de tasa de variación instantánea en apartado 5
  6. En la gráfica de la figura, en x=-1:

    Cálculo de tasa de variación instantánea en apartado 6
  7. st=3+5t+8t2 en t=2sg
  8. vt=5+16t en t=1sg

 

Derivada de una Función

Derivadas sucesivas aplicando definición

dificultad

Calcula hasta la 3ª derivada aplicando la definición en la función fx=x33+2x-1

Qué valor tendrá la pendiente de la recta tangente a f(x) en x=3.

Interpretación gráfica de la derivada

dificultad

Calcula f'(-3), f'(2) y f'(-2) a partir de la información de la gráfica de f(x), en rojo, en la siguiente imagen:

Gráfica para interpretar la derivada

Relacionar cada gráfica con su derivada

dificultad

Relaciona cada gráfica de la columna izquierda, con su derivada en la columna derecha.

Gráficas con sus derivadas para asociarlas

Interpretación gráfica avanzada de la derivada

dificultad

Sabiendo que la siguiente gráfica corresponde a la derivada de f(x)f'(x), ¿cuánto vale la pendiente de la recta tangente a f(x) en x=0?

Interpretación de la derivada

Y si la gráfica correspondiese directamente a f(x), ¿cuál será el valor de f'(3)?

¿Cuáles serán los puntos de derivada nula?

¿Cuál es el valor de x si f(x)=-1

Reglas de Derivación

Derivadas sencillas

dificultad

Resuelve las siguientes derivadas inmediatas:

  1. fx=3x2+2x
  2. fx=x+25
  3. fx=sinx-cosx
  4. fx=lnx+ex
  5. fx=3x-1x

Derivadas de productos y cocientes

dificultad

Resuelve las derivadas de las siguientes funciones. Puedes utilizar las reglas para la derivación de multiplicaciones y divisiones de funciones:

  1. fx=x3·cosx
  2. fx=2x2-1x3-x
  3. fx=sinx-2x+2cosx
  4. fx=x3·e-x
  5. fx=sinx+cosxtanx
  6. fx=sinx·lnx·ex
  7. fx=3xx2log2x

Derivadas intermedias

dificultad

Resuelve las siguientes derivadas, de dificultad intermedia:

  1. fx=e2x
  2. fx=sinx+x22
  3. fx=ln1+3x
  4. fx=lnx
  5. fx=esinx+x
  6. fx=arc cossinx

Derivadas Laterales

Cálculo de derivadas laterales

dificultad

Resuelve las siguientes derivadas laterales como creas oportuno:

  1. fx=2x+1 en x=0
  2. fx=ex+1 en x=-3
  3. fx=x2-1six<0-x+2six0 en x=2 y en x=0
  4. fx=x2+ 0,5six<12x2-1six1 en x=1 
  5. fx=x+1x-1 en x=1
  6. fx=xx-2
  7. fx=ax-2six<-1-bx3six-1 en x=-1

Regla de la Cadena

Derivadas avanzadas

dificultad

Resuelve las siguientes derivadas utilizando la regla de la cadena y las propiedades que consideres oportuno:

  1. fx=x2+4x3·lnx+2x
  2. fx=lncosx1-x
  3. fx=log2sincosarc cosx
  4. fx=2x-3sin2x

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del tema Derivadas. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Tasa de Variación Media

Tasa de variación media

T.V.M a, b =fb-fab-aT.V.M a, a+h =fa+h-fah

Tasa de Variación Instantánea

Tasa de variación instantánea

T.V.I.a =limbafb-fab-aT.V.I.a =limh0fa+h-fah

Derivada de una Función

Definición de derivada

f'x=limh0fx+h-fxh

Reglas de Derivación

Derivada de una función constante

fx=kf'x=0

Derivada de una función potencial

fx=xnf'x=n·xn-1 n

Derivada de una constante por una función

gx=k·fxg'x=k·f'x

Derivada de un logaritmo

fx=logaxf'x=1xlogae

Derivada de la función exponencial

fx=axf'x=ax·lna

Derivada del seno

fx=sinxf'x=cosx

Derivada del coseno

fx=cosxf'x=-sinx

Derivada del arcoseno

fx=arc sinxf'x=11-x2

Derivada del arcocoseno

fx=arc cosxf'x=-11-x2

Derivada de la suma y resta de funciones

Df+g=f'+g' ;Df-g=f'-g'

Derivada del producto de funciones

Df·g=f'·g+f·g'

Derivada del cociente de funciones

Dfg=f'·g-f·g'g2

Regla de la cadena

Dgfx=Dgfx=g'fx·f'x

Derivadas Laterales

Derivada por la izquierda en un punto

f'a-=limh0-fa+h-fah

Derivada por la derecha en un punto

f'a+=limh0+fa+h-fah

Regla de la Cadena

Regla de la cadena

Dgfx=Dgfx=g'fx·f'x

Recta Tangente y Recta Normal

Recta tangente

y-fa=f'a·x-a

Recta normal

y-fa=-1f'a·x-a

Derivada de la Función Inversa

Derivada de la función inversa

f-1'=1f'f-1

Ficha de temas relacionados

El tema no se encuentra disponible en otros niveles educativos.