Leyes de Kepler: Periodo orbital de la E.E.I.

Datos

• Periodo orbital de la Luna: T_L = 27 días = 27 días·24 h/día·60 min/h·60 s/min = 2332800 s
• Distancia media del centro de la Luna al centro de la Tierra: r_L = 384000 km = 384·10⁶ m
• Radio de la Tierra: R_T = 6371 km = 6371·10³ m
• Altura media de la E.E.I. h = 410 km = 410·10³ m

Consideraciones previas

Tanto la E.E.I como la Luna son satélites de la Tierra, por lo que comparten valor de k. Esto nos permite relacionar sus periodos y distancias medias a la Tierra, de acuerdo a la tercera ley de Kepler, también conocida como ley de las órbitas, de la siguiente manera:

$$\left.\begin{array}{r}{T_L}^2=k·{r_L}^3 \\ {T_{EEI}}^2=k·{r_{EEI}}^3\end{array}\right\}\left.\begin{array}{r}k=\frac{{T_L}^2}{{r_L}^3}\\ k=\frac{{T_{EEI}}^2}{{r_{EEI}}^3}\end{array}\right\}\frac{{T_L}^2}{{r_L}^3}=\frac{{T_{EEI}}^2}{{r_{EEI}}^3}$$

Resolución

Antes de poder aplicar la expresión a la que hemos llegado que relaciona periodos y radios medios de ambos satélites, debemos encontrar r_EEI . Teniendo en cuenta que la E.E.I. órbita a una altura media de 410 km, podemos escribir que el radio medio de la órbita al centro de la Tierra, será: r_EEI = 410·10³ + 6371·10³ = 6781·10³ m. Así, podemos despejar el periodo de la E.E.I. de la siguiente manera:

$$\frac{{T_L}^2}{{r_L}^3}=\frac{{T_{EEI}}^2}{{r_{EEI}}^3}\Rightarrow T_{EEI}=\sqrt{\frac{{T_L}^2·{r_{EEI}}^3}{{r_L}^3}}=\sqrt{\frac{{2332800}^2·{\left(6781·{10}^3\right)}^3}{{\left(384·{10}^6\right)}^3}}=\hspace{0.17em}5475.32 s$$