La Tierra girando alrededor del Sol
Habilidades
  • Matemáticas básicas
  • Vectores
  • Derivadas
  • Integrales

Ficha de contenidos

Una de las grandes aspiraciones de los pensadores de la Grecia clásica fue conocer los mecanismos que rigen los cielos. Fue, sin embargo, Sir Isaac Newton, un científico inglés, quién daría un impulso vital a dicha aspiración, mantenida a lo largo de los siglos.

En el presente tema, estudiaremos la gravedad, tanto desde el punto de vista de las fuerzas, como desde el punto de vista de los campos. Para ello introduciremos el concepto de campo en Física, desarrollado principalmente por Michael Faraday y James Clerck Maxwell en el marco de sus estudios sobre la electricidad y establecido de forma definitiva por Albert Einstein en el S.XX.

Para abordar los contenidos de este tema te recomendamos que estés familizarizado con las leyes de Newton y sus aplicaciones vistas en niveles anteriores. Así mismo utilizaremos algunos conceptos presentados en el tema sobre la dinámica del sólido rígido. Matemáticamente deberías estar familiarizado con la aritmética y el álgebra, tanto escalares como vectoriales, propias del nivel. Así mismo utilizaremos derivadas e integrales básicas para los desarrollos tratados.

Ficha de ejercicios resueltos

Pon a prueba lo que has aprendido en el tema Gravitación Universal con esta lista de ejercicios con sus respectivas soluciones y clasificados por apartados.

Leyes de Kepler

Leyes de Kepler: Periodo orbital de la E.E.I.

dificultad

Sabiendo que la luna tiene un periodo orbital de, aproximadamente, 27 días y que la distancia media del centro de la misma al centro de la Tierra es de unos 384000 km, determina el periodo orbital de la Estación Espacial Internacional (E.E.I.).

Datos: Radio de la Tierra: RT = 6371 km ; Altura media de la E.E.I. h = 410 km

Leyes de Kepler: Duración del año en Marte

dificultad
Sabiendo que el radio orbital medio de Marte es, aproximadamente, 0.65 veces el de la Tierra, determina la duración media del año marciano.

Aplicación segunda ley de Kepler

dificultad

Sabiendo que la distancia entre Venus y el Sol varía entre su perihelio de 0.718 UA y su afelio de 0.728 UA, determina:

  • La longitud del semieje mayor de la órbita del planeta
  • La velocidad en el afelio, sabiendo que en el perihelio es de aproximadamente 35.24 km/s
  • La velocidad en los extremos del eje menor de la órbita

Ley de Gravitación Universal

Masa de Jupiter

dificultad
Sabiendo que el satélite Europa del planeta Júpiter tiene un periodo de revolución de 3.551181 días y una distancia media al planeta de 671100 km, determina la masa del planeta Júpiter.

Aceleración gravitatoria en la superficie de la luna

dificultad
Determina la aceleración en la superficie de la Luna sabiendo que su radio es 0.27 veces el radio de la Tierra y que la masa de esta es 81.23 veces la de la Luna. Ten presente que la aceleración para los cuerpos en la superficie de la Tierra, fruto de la gravedad, es de 9.8 m/s2

Gravedad y masas en vértices de cuadrado

dificultad

En los vértices de un cuadrado de lado l, como el de la figura, se sitúan 4 masas. Determina la aceleración de la masa m sujeta a la acción de las otras tres. ¿Qué valores deben tener las masas para que la masa m estudiada se desplace sólo en sentido vertical?

cuatro masas situadas en los vértices de un cuadrado de lado l

Estabilidad dinámica de un satélite en órbita

dificultad

Determina el periodo y la velocidad orbital de un satélite que orbita circularmente a 300 km de altura sobre la Tierra. ¿Cumple este valor la tercera ley de Kepler?

Datos: Radio de la Tierra 6370 km; Masa de la Tierra: 5.97·1024 kg

Gravedad y Movimiento Planetario

Momento angular y velocidad areolar de Neptuno

dificultad
Neptuno es el planeta más lejano del Sistema Solar. Su masa es de 102.4·1024 kg. El radio de su órbita, casi circular, es de 4.498·1012 m y su periodo de unos 165 años. Con estos datos, determina el momento angular de Neptuno y su velocidad areolar respecto al Sol. 

Momento angular de satélites en órbita

dificultad
Dos satélites describen en torno a la Tierra dos órbitas coplanarias circulares cuyos radios son R y 2·R y sus sentidos contrarios. Determina la relación entre sus momentos angulares suponiendo que sus masas tienen igual valor.

Trabajo de la Fuerza Gravitatoria

Trabajo gravitatorio para mover una masa desde A a B

dificultad
Dos masas m1=10 kg y m2=50 kg se encuentran situadas respectivamente en los puntos (0,0) m y (4,0) m de un sistema de coordenadas en el vacío. Si pasado un tiempo m2 se desplaza hasta la posición (8,0) m, ¿Cual es el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria que actúa sobre m2?¿Y si, una vez allí, la masa se desplaza al (6,0) m? Sería este último valor igual si m2 se hubiese desplazado directamente desde (4,0) m a (6,0) m ? ¿Qué te sugiere el signo del trabajo en cada caso?

Energía Potencial Gravitatoria

Energía potencial gravitatoria de un sistema de cuatro partículas

dificultad

Determina la energía potencial gravitatoria de un sistema como el de la figura de 4 partículas de 20 kg situadas en los vértices de un cuadrado de 50 cm de lado. Posteriormente, determina la energía potencial que tendría una cualquiera de las partículas. ¿Coinciden ambos valores?

Masa a partir de energía potencial gravitatoria

dificultad
Disponemos de una masa de 100 kg. ¿Qué valor debe tener una segunda masa situada a 1 m para que el trabajo mínimo necesario para separarlas a una distancia infinita sea de 10-5 J?  

Trabajo de separación de 2 partículas

dificultad
Dos masas m1=10 kg y m2=50 kg se encuentran situadas respectivamente en los puntos (0,0) m y (4,0) m de un sistema de coordenadas en el vacío. Si pasado un tiempo m2 se desplaza hasta la posición (8,0) m, ¿Cual es el trabajo mínimo necesario para la separación de las partículas?¿Cual es el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria que actúa sobre m2 durante el trayecto?

Intensidad del Campo Gravitatorio

Intensidad de campo gravitatorio creado por partícula

dificultad
Determina la intensidad del campo gravitatorio a 3 metros de una masa puntual de 2 kg. ¿Cuál sería la fuerza gravitatoria que aparecería sobre una masa de 10kg que se situase sobre dicho punto?¿Y si la masa fuese de 5 kg?

Campo gravitatorio en el interior de la Tierra

dificultad

Determina el valor del campo gravitatorio a 40 cm del centro de dos esferas macizas, homogéneas, de igual masa m kg, una de radio R y otra de radio 2·R siendo R mayor que 40 cm. Suponiendo que la Tierra fuese perfectamente esférica y su masa estuviese distribuida de forma homogénea,¿cual sería el valor de la intensidad de campo a 40 cm del centro?¿y sobre la superficie? ¿Serían estos valores iguales si la Tierra fuese una esfera hueca, con toda su masa concentrada en las capas exteriores?

Datos: Radio de la Tierra: 6.371 km; Masa de la Tierra: 5,972·1024 kg

Campo gravitatorio nulo entre 2 masas

dificultad

Determina a que distancia deben situarse dos masas de 8 kg y 2 kg para que el campo gravitaorio entre ambas y a 2/3 m de la primera sea nulo. 

Potencial Gravitatorio

Masa en función del potencial gravitatorio

dificultad
Determina la masa que debe tener un cuerpo puntual para que su campo gravitatorio asociado tenga un potencial de -7 J/kg a 30 metros del mismo. 

Potencial gravitatorio de un sistema de cuatro partículas

dificultad

En cada uno de los vértices de un cuadrado de dos metro de lado se distribuyen cuatro masas de 1000 kg que podemos considerar esféricas. Determina la energía potencial gravitatoria que adquirirá una masa considerada puntual de 3 kg situada en el centro del cuadrado suponiendo que los radios de las esferas son de 0.5 m. Posteriormente determina la energía potencial que adquiriría otra masa, también puntual, de 6 kg.

Diferencia de potencial gravitatorio

dificultad
Determina el trabajo desarrollado por el campo gravitatorio sobre una partícula cuya masa es de 10 kg cuando se desplaza desde un punto con potencial -75 J/kg a otro con potencial -50 J/kg.

Intensidad de campo gravitatorio a partir de potencial

dificultad

Sabiendo que el potencial gravitatorio de cierta masa puntual varía en el espacio en función de la distancia r según V(r) = -3·10-7/r J/kg, determina:

  • La masa que genera el campo
  • La intensidad de campo gravitatorio en función de las coordenadas cartesianas x,y y z

Campo Gravitatorio en la Tierra

Variación peso con la latitud

dificultad
Determina el valor del peso aparente de una persona situada sobre la superficie terrestre cuya masa es de 58 kg en la ciudad de Quito en Ecuador (aprox. 0º), en México D.F. en México (aprox. 19º N) y en Buenos Áires (aprox. 34º S). Considera g = 9.81 N/kg y RT = 6371 km.

Consideraciones Energéticas Adicionales del Campo Gravitatorio

Velocidad de escape a cierta altura

dificultad

Determina la velocidad de escape de un punto situado a 40000 km de altura respecto a la Tierra.

Datos: Radio de la Tierra: 6371 km; Masa terrestre: 5.97·1024 kg 

Velocidad a partir de diferencia de potencial gravitatorio

dificultad
Una partícula de 3 kg de peso se encuentra inicialmente en reposo. En ese instante sufre los efectos de un campo gravitatorio que le hace desplazarse de un punto con potencial -200 J/kg a otro con potencial -600 J/kg. ¿Qué velocidad alcanza?

Energía mecánica satélite en órbita y trabajo de escape

dificultad

Un satélite que orbita en torno a la Tierra cuenta con 2300 kg de masa. Su trayectoria, circular, lo sitúa a una altura de 1350 km de altura sobre el nivel del mar. Determina:

  • La energía mecánica del satélite
  • Su energía cinética
  • El módulo del momento angular
  • El trabajo que tendría que realizar el satélite para escapar a la influencia del campo gravitatorio desde su órbita

Dato: Radio de la TIerra: 6370 km ; Masa de la Tierra: 5.97·1024 kg

Energía de puesta en órbita de un satélite

dificultad
Determina la energía que hay que suministrar a un satélite de 450 kg de peso para ponerlo en órbita a 8000 km del centro de la Tierra.

Trabajo para cambiar órbita de satélite

dificultad

Un satélite de 2000 kg se sitúa en una órbita circular sobre la Tierra a una altura de 18000 km. Determina el trabajo que será necesario realizar sobre el satélite para que el radio de la órbita se reduzca a la mitad.

Datos: Radio de la Tierra: 6371 km; Masa de la Tierra: 5.97·1024 kg

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del tema Gravitación Universal. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Leyes de Kepler

Tercera ley de Kepler

T2=k·r3

Tercera ley de Kepler -Relación entre distintas órbitas

T12T22=r13r23=a13a23

Velocidad areolar y segunda ley de Kepler

vA=dAdt=cte

Segunda ley de Kepler

r1·v1·sinθ1=r2·v2·sinθ2

Relación de vectores velocidad y posición en afelio y perihelio

ra·va=rp·vp

Ley de Gravitación Universal

Fuerza gravitacional

Fg=-G·M·mr2·ur

Efectos fuerza gravitatoria en conjunto de más de dos masas

F1=F2,1+F3,1+  + Fn,1

Gravedad y Movimiento Planetario

Momento de la fuerza gravitatoria

Mg=0

Momento angular de la fuerza gravitatoria

Lg=cte

Trabajo de la Fuerza Gravitatoria

Trabajo realizado por una fuerza variable en movimiento rectilíneo

W=r0rdW=r0rF·dr

Trabajo realizado por la fuerza de la gravedad en movimiento rectilíneo

Wg(AB)=ABFg·dr

Trabajo realizado por fuerza gravitatoria en un campo creado por una masa puntual

Wg(AB) =G·M·m·1rB-1rA

Energía Potencial Gravitatoria

Relación energía potencial - trabajo en fuerzas conservativas

Wcons=-Ep=Epi-Epf

Energía potencial gravitatoria -sistema de dos cuerpos

Epgr=-G·M·mr

Energía potencial gravitatoria -sistema de tres o más cuerpos

EpT=Ep1,2+Ep1,3++Ep1,n+Ep2,3++Ep2,n++Epn-1,n

Intensidad del Campo Gravitatorio

Intensidad del campo gravitatorio

g=Fgm'

Intensidad del campo gravitatorio creado por masa puntual

g=-G·mr2·ur

Intensidad del campo gravitatorio en el interior de esfera sólida y homogénea

g=-G·mr3·r'·ur

Intensidad del campo gravitatorio creado por varias masas

gT=g1+g2++gn=i=1ngi

Potencial Gravitatorio

Potencial gravitatorio

V=Epm'

Diferencia de potencial gravitatorio

ΔV=VB-VA=-WgABm

Potencial gravitatorio creado por una masa puntual, o una esfera, en su exterior

V=-G·mr

Potencial gravitatorio creado por varias masas

V=V1+V2++Vn=-G·m1r1+m2r2++mnrn=i=1nVi

Relación entre potencial e intensidad del campo gravitatorio

g=-Vx·i+Vy·j+Vz·k

Campo Gravitatorio en la Tierra

Variación del campo gravitatorio con la altitud sobre la superficie terrestre

g=g0·RT2RT+h2

Gravedad efectiva en función de latitud en superficie terrestre

gefectiva=ω2·RT·cosα·sinα·uh+ω2·RT·cos2α-g·uv

Peso aparente debido a latitud

Paparente =m·gefectiva

Energía potencial gravitatoria en las proximidades de la superficie terrestre

Ep=m·g·h

Consideraciones Energéticas Adicionales del Campo Gravitatorio

Principio de Conservación de la Energía Mecánica - Fuerzas Conservativas

Em=0

Velocidad de escape

ve=2·G·MR=2·g·R

Ficha de temas relacionados

El tema no se encuentra disponible en otros niveles educativos.