Monotonía en funciones racionales

Consideraciones previas

Vamos a seguir la regla práctica expuesta en el apartado dedicado al cálculo de máximos y mínimos.

1. El cálculo del dominio, que en el caso de las funciones racionales de este apartado se obtiene quitando del conjunto de los reales aquellos valores que anulan el denominador
2. Obtenemos los puntos singulares de la función, esto es, obtenemos la derivada de f(x), la igualamos a 0 y despejamos
3. Los puntos críticos de la función (aquellos en los que la función puede cambiar su crecimiento) serán los singulares y los que hemos quitado del dominio. Estos puntos dividen la recta real en varios intervalos. Estudiamos el signo de la primera derivada en cada uno de ellos a través de un cuadro de signos
4. En los intervalos en que la primera derivada es positiva, la función original es creciente. En los que es negativa la función original es decreciente.
5. En los puntos críticos en los que haya un cambio de tendencia (de crecimiento a decrecimiento o viceversa) habrá extremos relativos (máximos o mínimos)

También puedes ampliar información sobre funciones racionales, en general, en el apartado enlazado.

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x^2-1}}$$

Comenzamos calculando el dominio...

$$x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1\Rightarrow Dom\left(f\right)=\mathrm{ℝ}-\{-1,1\}$$

Calculamos los puntos singulares, igualando la primera derivada a 0:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x\left(x^2-1\right)-2x\left(x^2+1\right)}{{\left(x^2-1\right)}^2}=\frac{-4x}{{\left(x^2-1\right)}^2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow -4x=0\Rightarrow x=0$$

Construimos la tabla de signos de la primera derivada, con los puntos críticos:

$$\begin{array}{ccccc}& \left(-\infty ,-1\right)& \left(-1,0\right)& \left(0,1\right)& \left(1,\infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}& +& +& -& -\end{array}$$

Ahora estamos en disposición de afirmar que:

• Intervalos de crecimiento: (-∞,0), y (-1,0)
• Intervalos de decrecimiento (-0,1) y (1,∞)
• Los puntos de abscisas x=-1 y x=1 no pertenecen al dominio, con lo que no son candidatos a extremos (pero sí a asíntotas)
• En x=0 la función pasa de creciente a decreciente, siendo un máximo

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2+1}}$$

En este caso el dominio es el conjunto de los reales, ya que el denominador no se anula nunca. Buscamos la primera derivada y la igualamos a 0 para encontrar los puntos críticos:

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x\left(x^2+1\right)-\left(x^2-1\right)2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{4x}{{\left(x^2+1\right)}^2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 4x=0\Rightarrow x=0$$

En el cuadro de signos nos queda...

$\begin{array}{ccc}& \left(-\infty ,0\right)& \left(0,\infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}& -& +\end{array}$

Por tanto, la función es decreciente en el intervalo (-∞,0) y creciente en el intervalo (0,∞). Como 0 pertenece al dominio, y la función es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha, se trata de un mínimo.

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{2x^3+x^2-4}{x^2-4}}$$

En este caso el dominio de la función se obtiene quitando del conjunto de los reales los valores que hacen cero el denominador:

$$x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2\Rightarrow Dom\left(f\right)=\mathrm{ℝ}-\left\{-2,2\right\}$$

Buscamos la primera derivada y la igualamos a cero:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left({\displaystyle 6x^2+2x}\right)\left(x^2-4\right)-2x\left(2x^3+x^2-4\right)}{{\left(x^2-4\right)}^2}=\frac{2x^4-24x^2}{{\left(x^2-4\right)}^2}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 2x^4-24x^2=0\Rightarrow \\ \Rightarrow x^2\left(2x^2-24\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_1=0\\ x_2=-\sqrt{12}\\ x_3=\sqrt{12}\end{array} \right. \end{gathered}$$

Estudiamos ahora el signo de la primera derivada a partir de un cuadro de signos:

$$\begin{array}{ccccccc}& \left(-\infty ,-\sqrt{12}\right)& \left(-\sqrt{12},-2\right)& \left(-2,0\right)& \left(0,2\right)& \left(2,\sqrt{12}\right)& \left(\sqrt{12},\infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}& +& -& -& -& -& +\end{array}$$

Observa que, para determinar el signo de la primera derivada en cada intervalo, simplemente evaluamos la derivada en un valor arbitrario de dicho intervalo. Por ejemplo, en el intervalor (-2,0) tomamos el valor -1, siendo  $f\text{'}\left(-1\right)=\frac{2{\left(-1\right)}^4-24{\left(-1\right)}^2}{{\left({\left(-1\right)}^2-4\right)}^2}<0$.

Del cuadro anterior podemos extraer la siguiente información:

• Intervalos de decrecimiento: (-√12,-2), (-2,0), (0,2) y (2,√12 )
• Intervalos de crecimiento (-∞,-√12) y (√12,∞)
• Los puntos de abscisas x=-2 y x=2 no pertenecen al dominio, con lo que no son candidatos a extremos (sí a asíntotas)
• En x=-√12 la función pasa de creciente a decreciente, siendo un máximo
• En x=√12 la función pasa de decreciente a creciente, siendo un mínimo
• En x=0 tenemos un punto silla

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{5}{x^2\left(x-4\right)}}$$

Comenzamos igualando a 0 el denominador para determinar el dominio:

$$x^2\left(x-4\right)=0\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=0\\ x=4\end{array}\end{array}\right.\Rightarrow Dom\left(f\right)=\mathrm{ℝ}-\{0,4\}$$

La primera derivada nos da los puntos singulares:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{-5\left(2x\left(x-4\right)+x^2\right)}{x^2\left(x-4\right)}=\frac{-5\left(3x^2-8x\right)}{x^2\left(x-4\right)}\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow -5\left(3x^2-8x\right)=0\Rightarrow \\ \Rightarrow 3x^2-8x=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_1=0\\ x_2=8/3\end{array}\right. \end{gathered}$$

En el cuadro de signos nos queda...

$$\begin{array}{ccccc}& \left(-\infty ,0\right)& \left(0, 8/3\right)& \left(8/3, 4\right)& \left(4, \infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}& -& +& -& -\end{array}$$

Con lo que tenemos:

• Intervalos de decrecimiento (-∞,0), (8/3, 4) y (4,∞)
• Intervalos de crecimiento (0, 8/3)
• Aunque 0 anula la primera derivada, no está en el dominio, por lo que no es candidato a mínimo
• En 8/3 hay un máximo al ser la función creciente a su izquierda y decreciente a su derecha