Ejercicios Resueltos de Fundamentos Matemáticos IV

Determina la ecuación de la circunferencia centrada en el punto O(2,3) y cuyo radio es 3. ¿Podrías determinar otro punto de la circunferencia?

Determina la existencia de la ecuación de la circunferencia $x^2+y^2-2x+2y+5=0$

Determina el radio de la circunferencia cuya ecuación es $x^2+y^2-2x+4y=0$

¿Sabrías determinar la ecuación de la circunferencia concéntrica a $x^2+y^2-10x+6y=0$, cuyo radio vale la unidad?

Determinar la ecuación de una elipse de eje mayor vertical centrada en el punto P(-1,2) y cuyos ejes miden 20 y 16.

Dada la siguiente ecuación de una elipse determina su excentricidad.

$$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$$

Determina la ecuación de la elipse horizontal centrada en el origen cuyo eje mayor horizontal mide 10 y su distancia focal mide 6.

Dada la siguiente ecuación:

$$(x+2{)}^2+4 (y-4{)}^2=16$$

a) ¿Cuáles son sus semiejes mayor (a) y menor (b)?
b) ¿Donde se encuentra centrada?

Determinar la ecuación de la hipérbola centrada en el punto P(2,1) cuya distancia focal es 10 y la distancia entre sus vértices A es 8.

Dada la siguiente ecuación de una hipérbola determinar su distancia focal.

$$\frac{x^2}{64}-\frac{(y-1{)}^2}{36}=1$$

Determina la excentricidad de la hipérbola dada por la siguiente ecuación:

$$\frac{y^2}{25}-\frac{(x-2{)}^2}{16}=1$$

Calcular las asíntotas de la hipérbola que viene dada por la siguiente ecuación:

$$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{81}=1$$

Determina el área del paralelogramo formado por dos vectores sabiendo que:

• los vectores tienen igual origen
• sus módulos son 9 m y 4 m respectivamente
• forman un ángulo de 45º entre sí

Dados los vectores $\overrightarrow{a}=3·\overrightarrow{i}+2·\overrightarrow{j}$  y $\overrightarrow{b}$  (2,-1), determina su producto vectorial.

Dados los vectores a⃗ =-2·i⃗ +2·j⃗ y b⃗ (5,-1), determina el área del paralelogramo que forman y el ángulo que los separa.

Determina el momento del vector $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{i}$  respecto al origen, sabiendo que su punto de aplicación está en P(0,1,0).¿Qué relación guarda el momento calculado con el del vector ${\overrightarrow{V}}_2=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ ?¿Y con el del vector ${\overrightarrow{V}}_3=\overrightarrow{i}-3·\overrightarrow{j}$ ?¿Sabrías explicar por qué?

Determina el momento del vector $\overrightarrow{V}=6·\overrightarrow{i}-3·\overrightarrow{j}+4·\overrightarrow{k}$  respecto al origen de coordenadas, sabiendo que su vector de posición, respecto de dicho origen, es el $\overrightarrow{r}=-3·\overrightarrow{i}-6·\overrightarrow{j}+3·\overrightarrow{k}$ . Posteriormente, calcula el momento respecto al punto P(1,1,1).

Determina el momento del vector $\overrightarrow{V}$  de componentes (1,2,0) respecto al eje x sabiendo que su vector de posición respecto al origen viene dado por $\overrightarrow{r}=2·\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ 

Calcular el momento del vector $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{i}-3·\overrightarrow{j}$ , cuyo vector de posición es $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{k}$ , respecto al eje definido por la ecuación:

$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}=z-3$$

Simplifica las siguientes potencias de i

a) i¹²               b) i³³               c) i^-9               d) i¹²³

a) Representa gráficamente los siguientes números complejos: -2+3i, -i, 3-2i, 1+2i .

Transforma los siguientes números complejos en forma binómica a polar:

a)  $5-5i$ 
b) $3+\sqrt{3}i$

a) Calcula el número ${\left(2\right)}_{30º}$ en forma binómica
b) Calcula ${\left(15\right)}_{90º}$ en forma binómica

Calcular:

a)  $\left(2-5i\right)+\left(3+6i\right)$
b) $\left(-2-i\right)-\left(2+4i\right)$

Calcular:

a) $\left(2-5i\right)·\left(3+6i\right)$
b) $\left(2-i\right)·\left(2+4i\right)$

Calcular:

a)  $-2+3i : 7+6i$
b) $1:\left(-8+2i\right)$

Calcular:

a) i⁵⁵
b) i¹⁸
c) ${\left(3+2i\right)}^3$
d) ${\left(-1-2i\right)}^4$

Calcular:

a) ${\left(7\right)}_{20º}·{\left(3\right)}_{160º}$
b) Si $Z={\left(4\right)}_{50º}$, calcular $Z·\overline{Z}$

Calcular:

a)$\frac{{\left(9\right)}_{80º}}{{\left(3\right)}_{35º}}$
b) Si $Z={\left(7\right)}_{120º}$, calcular $\frac{Z}{\overline{Z}}$

Calcula:

a) ${{\left(2\right)}_{12º}}^8$
b)${{\left(3\right)}_{20º}}^{12}$

a) Calcular $\sqrt[3]{-64}$

Dadas las siguientes progresiones aritméticas determinar el primer término, el término general y la diferencia de que cada una de ellas:

• 4, 2, 0, -2, -4, ...
• -4, -1, 2, 5, 8, ...
• 5, 7, 9, 11, 13, ...

Suma los diez primeros términos de una progresión aritmética en la que a₁=4 y d=-1/3.

Suma los 21 primeros términos de una progresión geométrica donde a₁=5 y r =-1.

Calcula el producto de los 8 primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que a₁=3 y a₅ = 243/16

¿Cuántos números pares consecutivos a partir del 4 suman 108?

Dadas las siguientes progresiones geométricas determinar el primer término, el término general y la razón de cada una de ellas:

• 1, -2, 4, -8, 16, ...
• 3, 6, 12, 24, 48, ...
• 7, -7, 7, -7, 7, ...

Dada una progresión aritmética con un número impar de términos cuyo elemento central es el número 34, determinar el valor de la suma de los elementos extremos.