Habilidades
  • Matemáticas básicas
  • Vectores

Ficha de contenidos

Las matemáticas son el lenguaje que nos permite a los físicos describir los fenómenos y predecir la realidad.

En este tema vamos a presentar la ecuación de la elipse, fundamental para entender el movimiento de los planetas, así como también algunas herramientas relacionadas con el cálculo vectorial que nos serviran para abordar los temas de este nivel.

Para asimilar cómodamente los contenidos que aquí te presentamos te recomendamos tener cierta soltura en el manejo de vectores, tratado en niveles anteriores. Además, es fundamental que domines el álgebra y la aritmética básicas.

Ficha de ejercicios resueltos

Pon a prueba lo que has aprendido en el tema Fundamentos Matemáticos IV con esta lista de ejercicios con sus respectivas soluciones y clasificados por apartados.

Ecuación de la Circunferencia

Existencia de una circunferencia

dificultad

Determina la existencia de la ecuación de la circunferencia x2+y2-2x+2y+5=0

Ecuación de la circunferencia dado su centro y su radio

dificultad

Determina la ecuación de la circunferencia centrada en el punto O(2,3) y cuyo radio es 3. ¿Podrías determinar otro punto de la circunferencia?

Circunferencia que pasa por el origen de coordenadas

dificultad

Determina el radio de la circunferencia cuya ecuación es x2+y2-2x+4y=0

Dos circunferecncias concéntricas

dificultad

¿Sabrías determinar la ecuación de la circunferencia concéntrica a x2+y2-10x+6y=0, cuyo radio vale la unidad?

Ecuación de la Elipse

Ecuación de una elipse conocidas las longitudes de sus ejes

dificultad
Determinar la ecuación de una elipse de eje mayor vertical centrada en el punto P(-1,2) y cuyos ejes miden 20 y 16.

Excentricidad de una elipse

dificultad

Dada la siguiente ecuación de una elipse determina su excentricidad.

x216+y24=1

Ecuación de la elipse conocida la distancia focal y el eje mayor

dificultad
Determina la ecuación de la elipse horizontal centrada en el origen cuyo eje mayor horizontal mide 10 y su distancia focal mide 6.

Centro y ejes de una elipse dada una ecuación

dificultad

Dada la siguiente ecuación:

(x+2)2+32 (y-4)2=16 

a) ¿Cuáles son sus semiejes mayor (a) y menor (b)?
b) ¿Donde se encuentra centrada?

Ecuación de la Hipérbola

Determinar la ecuación de la hiperbola de eje horizontal

dificultad
Determinar la ecuación de la hipérbola centrada en el punto P(2,1) cuya distancia focal es 10 y la distancia entre sus vértices A es 8.

Cálculo de la distancia focal de una hipérbola

dificultad

Dada la siguiente ecuación de una hipérbola determinar su distancia focal.

x264-(y-1)236=1

Excentricidad de una hipérbola

dificultad

Determina la excentricidad de la hipérbola dada por la siguiente ecuación:

y225-(x-2)216=1

Asíntotas de una hipérbola

dificultad

Calcular las asíntotas de la hipérbola que viene dada por la siguiente ecuación:

x216-y281=1

Producto Vectorial

Área del paralelogramo formado por dos vectores

dificultad

Determina el área del paralelogramo formado por dos vectores sabiendo que:

  • los vectores tienen igual origen
  • sus módulos son 9 m y 4 m respectivamente
  • forman un ángulo de 45º entre sí

Producto vectorial con vectores de dos dimensiones

dificultad

Dados los vectores a=3·i+2·j  y b  (2,-1), determina su producto vectorial.

Producto vectorial para ángulo y para área del paralelogramo

dificultad

Dados los vectores a⃗ =-2·i⃗ +2·j⃗ y b⃗ (5,-1), determina el área del paralelogramo que forman y el ángulo que los separa.

Momento de un Vector

Momento de un vector respecto a un punto. Aplicación teorema de Varignon

dificultad

Determina el momento del vector V=i  respecto al origen, sabiendo que su punto de aplicación está en P(0,1,0).¿Qué relación guarda el momento calculado con el del vector V2=i+j ?¿Y con el del vector V3=i-3·j ?¿Sabrías explicar por qué?

Momento de un vector respecto a distintos puntos

dificultad

Determina el momento del vector V=6·i-3·j+4·k  respecto al origen de coordenadas, sabiendo que su vector de posición, respecto de dicho origen, es el r=-3·i-6·j+3·k . Posteriormente, calcula el momento respecto al punto P(1,1,1).

Momento de un vector respecto al eje X

dificultad

Determina el momento del vector V  de componentes (1,2,0) respecto al eje x sabiendo que su vector de posición respecto al origen viene dado por r=2·i+j+k 

Momento de un vector respecto a eje dado por su ecuación continua

dificultad

Calcular el momento del vector V=i-3·j , cuyo vector de posición es r=i-k , respecto al eje definido por la ecuación:

x-12=y-22=z-3

Números Complejos

Potencias de i

dificultad

Simplifica las siguientes potencias de i

a) i12               b) i33               c) i-9               d) i123

Representación de Números Complejos en Forma Binómica

Representación gráfica de complejos en forma binómica

dificultad

a) Representa gráficamente los siguientes números complejos: -2+3i, -i, 3-2i, 1+2i .

Representación de Números Complejos en Forma Polar

Transformación de números complejos en forma binómica a polar

dificultad

Transforma los siguientes números complejos en forma binómica a polar:

a)  5-5i 
b) 3+3i

Transformación de números complejos en forma polar a binómica

dificultad
a) Calcula el número 230º en forma binómica
b) Calcula 1590º en forma binómica

Operaciones con números complejos en forma polar

Producto de números complejos en forma polar

dificultad

Calcular:

a) 720º·3160º
b) Si Z=450º, calcular Z·Z

Cociente de números complejos en forma polar

dificultad

Calcular:

a)980º335º
b) Si Z=7120º, calcular ZZ

Potencias de números complejos en forma polar

dificultad

Calcula:

a) 212º8
b)320º12

Radicación de números complejos en forma polar

dificultad

a) Calcular -643

Sucesiones

Progresiones aritméticas

dificultad

Dadas las siguientes progresiones aritméticas determinar el primer término, el término general y la diferencia de que cada una de ellas:

  • 4, 2, 0, -2, -4, ...
  • -4, -1, 2, 5, 8, ...
  • 5, 7, 9, 11, 13, ...

Suma de los 10 primeros términos de una progresión aritmética

dificultad
Suma los diez primeros términos de una progresión aritmética en la que a1=4 y d=-1/3.

Suma de los 21 primeros términos de una progresión geométrica

dificultad
Suma los 21 primeros términos de una progresión geométrica donde a1=5 y r =-1.

Producto de los 8 primeros términos de una progresión geométrica

dificultad
Calcula el producto de los 8 primeros términos de una progresión geométrica sabiendo que a1=3 y a5 = 243/16

Suma de números pares

dificultad
¿Cuántos números pares consecutivos a partir del 4 suman 108?

Suma de los términos extremos en una progresión aritmética

dificultad
Dada una progresión aritmética con un número impar de términos cuyo elemento central es el número 34, determinar el valor de la suma de los elementos extremos.

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del tema Fundamentos Matemáticos IV. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Ecuación de la Circunferencia

Ecuación de una circunferencia

(1) x-a2+y-b2=r(2) x2+y2+mx+ny+p=0

Ecuación de la circunferencia que pasa por el origen

x2+y2+mx+ny=0

Ecuación de la Elipse

Condición elipse

dP,F+d(P,F')=2·a

Ecuación de una elipse de eje mayor horizontal

x-x02a2+y-y02b2=1

Semieje menor de la elipse

b2=a2-c2

Ecuación de la Hipérbola

Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto P cualquiera

x-x02a2-y-y02b2=1

Hipérbola de eje focal vertical centrada en un punto P cualquiera

y-y02a2-x-x02b2=1

Excentricidad de la Hipérbola

e=ca

Asíntotas de la Hipérbola

y=baxy=-bax

Semidistancia focal de la hipérbola

c2=a2+b2

Producto Vectorial

Área del paralelogramo a partir de producto vectorial

a×b=a·b·sinαh=a·h=Área del paralelogramo

Módulo del producto vectorial

a×b=a·b·sinα

Producto vectorial -expresión analítica

a×b=ijkaxayazbxbybz=ay·bz-by·az·i+az·bx-bz·ax·j+ax·by-bx·ay·k

Momento de un Vector

Momento de un vector respecto a un punto

Mo=r×V

Momento de un vector respecto a un eje

Me=r×V·ue=Mo·ue=Mo·cosα

Momento de un vector respecto a un eje -vector

Me=r×V·ue·ue=Mo·ue·ue=Me·ue

Representación de Números Complejos en Forma Polar

Módulo de un número complejo z = a+bi

z=a2+b2

Argumento de un número complejo z = a+bi

α=arc tg ba

Operaciones con números complejos en forma binómica

Suma de números complejos en forma binómica

(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i

Resta de números complejos en forma binómica

(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i

Producto de números complejos en forma binómica

(a+bi)·(c+di) = (a·c-b·d)+(a·d+b·c)i

Cociente de números complejos en forma binómica

a+bic+di= ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i

Potencias de números complejos en forma binómica

a+bin=(a+bi)·(a+bi)·...·(a+bi)n veces

Operaciones con números complejos en forma polar

Producto de números complejos en forma polar

mα·m'β=m·m'α+β

Potencias de números complejos en forma polar

mαn=mnnα

Radicación de números complejos en forma polar

mαn=mn α+k·360ºn con k=0,1,2,..., n-1

Sucesiones

Progresión Aritmética

an=a1+n-1·d

Progresión Geométrica

an=a1·rn-1

Suma de una Progresión Aritmética

S =a1+an2·n

Suma de una Progresión Geométrica

S =a1·rn-1r-1

Producto de una Progresión Geométrica

P = a1·ann

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