Enunciado
De una función f(x) se conoce que:
- es continua en el intervalo [-2,4]
- f(-2)=8
- f(4)=1
Marca las respuestas que sean correctas:
- La función toma todos los valores entre 1 y 8
- Existe al menos un valor c en el intervalo [-2, 4], tal que f(c)=4
- La función no tiene ninguna raíz en el intervalo
- El valor máximo que toma la función es f(x)=8 y el mínimo es f(x)=1
- Todos los valores que puede tomar la función se encuentran comprendidos en el intervalo [1, 8]
Solución
Consideraciones previas
El teorma de Darboux o de los valores intermedios nos servirá para saber si los enunciados son verdaderos o falsos. Recuerda que este establece que si una funcion y=f(x) es continua en el intervalo [a, b], entonces toma todos los valores entre f(a) y f(b).
Resolución
La afirmación (1) que dice que la función toma todos los valores entre y=1 e y=8 es claramente verdadera, pues es justamente lo que establece el teorema a partir de las características de la función establecidas en el enunciado.
Sin embargo, la función puede también tomar otros valores, es decir, no todos los valores de la función tienen porque estar entre los valores de los extremos del intervalo, y=1 e y=8. Por ello la afirmación (5) que dice que todos los valores de la función están entre y=1 e y=8 es falsa.
La afirmación (2) que dice que existe x=c tal que f(c)=4 es verdadera porque 4∈[1, 8].
Por otro lado, la afirmación (3) que dice que la función no tiene raíces es falsa. Que tome todos los valores entre y=1 e y=8 no significa que no pueda tomar el valor de y=0. Con la información proporcionada, no podemos saberlo.
Que tome todos los valores entre f(-2)=8 y f(4)=1 no significa que esos sean los valores máximos y mínimos y por lo tanto dicho enunciado (4) es falso.