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  • Vectores
  • Derivadas

Ficha de contenidos

El movimiento es uno de los fenómenos físicos más evidentes, al ser fácilmente observable. Su estudio nos permite entender la circulación de objetos con los que a buen seguro estás familiarizado, como trenes, coches y aviones. Pero también nos sirve de base para el estudio de otros menos comunes, como satélites, planetas, estrellas y muchos más

La rama de la Física que se encarga del estudio de este fenómeno es la cinemática, que estudia las leyes del movimiento sin tener en cuenta las causas que lo han producido.

En este tema presentaremos estas leyes, utilizando para ello dos herramientas matemáticas fundamentales: los vectores y las derivadas.

Ficha de ejercicios resueltos

Pon a prueba lo que has aprendido en el tema El Movimiento en Física con esta lista de ejercicios con sus respectivas soluciones y clasificados por apartados.

Movimiento y Sistemas de Referencia

Sistemas de referencia en cinemática

dificultad

Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Los sistemas de referencia se pueden clasificar en inerciales y heterogéneos.
b) El estudio de los movimientos es independiente de la posición del observador respecto al mismo.

Vector de Posición

¿Cuál es el vector de posición?

dificultad

 Halla el vector de posición y su módulo para los siguientes puntos:

a) P1 (-1,2)
b) P2 (-3,4)

Trayectoria y Ecuación de Posición

Ecuación de Posición del A.V.E. Madrid-Barcelona

dificultad

El A.V.E. Madrid-Barcelona se desplaza durante el primer tramo de su recorrido a razón de 50 m cada segundo en dirección Este y 30 m cada segundo en dirección Norte. Calcula:

  1. La coordenada x del movimiento en función del tiempo
  2. La coordenada y del movimiento en función del tiempo
  3. La ecuación de posición del tren en el tramo estudiado
  4. La distancia al origen del tramo en función del tiempo

Espacio Recorrido

Movimiento en Media Luna

dificultad

Un cuerpo se desplaza entre dos instantes cualesquiera de tiempo siguiente una trayectoria circular de radio 5 metros tal y como puedes ver en la figura. 

Determina:

  1. El vector desplazamiento del cuerpo y el espacio recorrido suponiendo el origen del sistema de referencia situado en el punto de inicio del movimiento
  2. El vector desplazamiento del cuerpo y el espacio recorrido suponiendo el origen del sistema de referencia situado en el centro del semicírculo

Diferencia entre Desplazamiento y Espacio recorrido

¿Qué sabes del desplazamiento y del espacio recorrido?

dificultad

Responde si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) El espacio recorrido solo depende de la posición inicial y final y no tiene en cuenta para nada la trayectoria.
b) El espacio recorrido siempre es mayor o igual que el módulo del vector desplazamiento.
c) El espacio recorrido es un vector.
d) A medida que transcurre el tiempo, un cuerpo que se encuentra en movimiento siempre aumenta su desplazamiento.

Velocidad Media

Cálculo de la velocidad media

dificultad

Si un cuerpo se encuentra en la posición (1,2) y transcurridos 2 segundos se encuentra en la posición (1,-2).

¿Cuál será su velocidad media durante el movimiento considerando que todas las unidades pertenecen al Sistema Internacional?

Velocidad Instantánea

Velocidad a partir de la ecuación de posición

dificultad

Si un cuerpo se mueve según la siguiente ecuación:

r(t) = (4·t + t2)·i+4·t·j m

Calcula su velocidad instantánea en el instante t=1sg.

Una partícula en desplazamiento

dificultad

La posición de cierta partícula depende del tiempo según la ecuación x(t)=t2-5t+1.2 , donde x se expresa en metros y t en segundos. Se pide:

  1. Determinar el desplazamiento y velocidad media durante el intervalo 3,0s ≤ t ≤ 4.0 s.
  2. Hallar la fórmula general para el desplazamiento durante el intervalo entre t y t + Δt.
  3. Hallar la velocidad instantánea para cualquier tiempo t haciendo el limite cuando Δt tiende a 0.

Celeridad Media

Celeridad media de la Luna

dificultad

Sabiendo que la luna tarda 28 días en dar una vuelta completa alrededor de la Tierra, calcula la celeridad media de la misma.

Dato: Considere la trayectoria de la Tierra como una circunferencia circular de radio 384000 Km.

Celeridad media en trayectoria circular

dificultad

Un móvil se encuentra en una pista circular como la de la figura.

Sabiendo que el radio de la pista es de 80 metros, calcula:

  1. La celeridad media entre el punto A y el punto B si el cuerpo tarda 13 segundos en ir desde uno hasta otro
  2. La celeridad media entre el punto A y el C si el ciclista tarda 26 segundos en ir desde uno hasta otro
  3. La celeridad media entre el punto A y el C si el ciclista tarda 13 segundos en ir desde uno hasta otro

Celeridad media en un círculo completo

dificultad

Un móvil describe una trayectoria circular completa de radio 4 metros en un intervalo de tiempo de 1,5 segundos. Calcula :

a) la celeridad media.
b) la velocidad media.

Celeridad Instantánea

Celeridad en función del espacio recorrido

dificultad

Sabiendo que el espacio que recorre un cuerpo en función del tiempo viene dado por la siguiente ecuación:

S(t)=t2+5·t+1

Calcula:

a) La celeridad media durante los 3 primeros segundos.
b) La celeridad instantánea del cuerpo.

Concepto de Aceleración

Gráficas de aceleración

dificultad

Dadas las siguientes gráficas que muestran la variación del módulo de la velocidad a lo largo del tiempo de 3 móviles distintos, responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Qué caso es el que tiene una variación del módulo de la velocidad más rápida?
b) ¿Qué representa la pendiente en cada uno de los 3 casos?
c) ¿Por qué la recta en el caso I es horizontal?
d) En el caso I, ¿existe la posibilidad de que el cuerpo esté experimentando una aceleración?

Aceleración Media

Aceleración en lanzamiento baloncesto

dificultad

Un jugador de baloncesto lanza la pelota con una velocidad de v1=-2·i+j  m/s, con tan mala suerte que rebota en el tablero con una velocidad v2=15·i+3·j m/s.

Calcula la aceleración media sabiendo que el impacto contra el tablero dura exactamente 0.02 segundos.

Aceleración Instantánea

Un meteorito audaz

dificultad

Un meteorito se desplaza por el cielo con una velocidad v⃗(t) = (1+4·t) i⃗+t2 j⃗ m. Calcular:

a) Su aceleración media entre los instantes t1=2 sg y t2=4 sg.
b) Su aceleración en el instante t3=6 sg.

Aceleración Tangencial

Módulo de la aceleración tangencial

dificultad

Conocido el módulo de la velocidad de un cuerpo en unidades del S.I.:

v=7+2·t+3·t2

Calcula el módulo de la aceleración tangencial.

Tipos de Movimientos Según Aceleración

Componiendo movimientos

dificultad

Determina si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Si en un movimiento hay aceleración normal, el movimiento es rectilíneo.
b) Si en un movimiento existe aceleración tangencial, el movimiento es curvilíneo.
c) La aceleración normal y tangencial reciben el nombre de componentes intrínsecas de la aceleración.
d) Un movimiento sin aceleración normal y con aceleración tangencial contante recibe el nombre de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. (m.r.u.a.)

Movimientos Rectilíneos: Convenio de Signos

Conversión de vectores a escalares en movimientos rectilíneos

dificultad

Suponiendo que las magnitudes vectoriales siguientes están referidas a un movimiento rectilíneo, da su correspondiente representación escalar

  • r=3·i m 
  • r=-3·jm 
  • v=4·(-j) m/s 
  • v=3·t·im/s 

Ecuaciones Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)

Choque de canicas

dificultad

Dos jugadores de canicas se encuentran uno frente a otro con sus canicas en la mano. El juego consiste en lanzarlas al mismo tiempo en línea recta y hacer que ambas se golpeen. Si ambos se encuentran situados a 36 metros uno del otro y el jugador A lanza su canica a 2 m/sg y el jugador B a 4 m/sg en un movimiento rectilíneo uniforme. Calcula a que distancia del jugador B chocarán las canicas.

Instante en que se encuentran dos cuerpos con m.r.u.

dificultad

Dos cuerpos parten del mismo punto, en la misma dirección y sentido, describiendo un movimiento rectilíneo uniforme. Sabiendo que parten con 15 segundos de diferencia, que el primero lo hace a una velocidad de 20 m/s y el segundo a una velocidad de 24 m/s, determina en qué instante se encuentran y a que distancia del origen. 

Velocidad de alcance de dos cuerpos que se mueven con m.r.u.

dificultad

Desde el punto A parten, con 15 segundos de diferencia, dos cuerpos en la misma dirección y sentido. Sabiendo que la velocidad del primero es de 72 km/h, ¿Cuál debe ser la velocidad del segundo para que lo alcance a los 90 s?

Nota: Puedes suponer que ambos cuerpos se mueven según un movimiento rectilíneo uniforme.

Gráficas Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)

Dibujar gráficas a partir de ecuaciones en m.r.u.

dificultad

Determina las gráficas de los siguientes movimientos rectilíneos uniformes:

  1. x = 3 + 4·t 
  2. x = 3 - 4·t
  3. x = -3 + 4·t
  4. x = -3 - 4·t
  5. 3·x = 9 + 12·t

Donde x se mide en metros y t en segundos.

​Gráfica x-t de una persona andando

dificultad
Una persona anda en línea recta a una velocidad de 5 kilómetros a la hora durante 15 minutos. ¿Podrías determinar su gráfica de posición con respecto al tiempo?

Análisis gráfica movimiento rectilíneo uniforme

dificultad

La siguiente gráfica de posición - tiempo ( x-t ) corresponde a un cuerpo que se mueve con trayectoria recta. Determina la ecuación del movimiento en cada tramo y su gráfica de velocidad - tiempo. A partir de la expresión para cada tramo, busca una expresión general en forma de función definida a trozos para la posición y otra para la velocidad.

gráfica posición-tiempo

Ecuaciones Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A.)

Una bicicleta con aceleración constante

dificultad

Un ciclista comienza su paseo matutino y al cabo de 10 segundos su velocidad es de 7.2 km/h. En ese instante ve aproximarse un perro y comienza a frenar durante 6 segundos hasta que la bicicleta se detiene. Calcular:

a) La aceleración hasta que comienza a frenar.
b) La aceleración con la que frena la bicicleta.
c) El espacio total recorrido.

Caída Libre

Gravedad en la Luna

dificultad

Determina la aceleración de la gravedad en la Luna sabiendo que si dejas caer un objeto desde una altura de 5m, este tarda 2.47 sg en llegar al suelo.

Un accidente acuático

dificultad

Un vaso de agua situado al borde de una mesa cae hacia el suelo desde una altura de 1.5 m. Considerando que la gravedad es de 10 m/s2, calcular:

a) El tiempo que está el vaso en el aire.
b) La velocidad con la que impacta en el suelo.

Caída libre en un pozo

dificultad

Determina la profundidad de un pozo sobre el que se deja caer una piedra, y en el que se escucha el impacto sobre el agua después de transcurridos 1.5 s, teniendo en cuenta que la velocidad del sonido es 340 m/s.

Gotas en caída libre

dificultad

Un grifo estropeado deja escapar gotas de agua cada 1/4 de segundo. Si el grifo se encuentra a 3 metros de altura sobre el suelo, y en este instante sale una, determinar cuál es la posición de las gotas que se encuentran en el aire en este momento.

Caída libre sin conocer altura

dificultad
Se deja caer libremente una piedra desde cierta altura. ¿Cuál será la velocidad de la piedra a los 8 segundos de comenzar su caída si nunca llega a tocar el suelo?¿Cuántos metros habrá recorrido durante ese tiempo?

Lanzamiento Vertical

Un equilibrista novato

dificultad

Un equilibrista novato se encuentra sobre una plataforma situada a 12 metros de altura. Practicando juegos malabares con 2 bolas, tiene un traspiés y lanza verticalmente cada una de ellas a 9 m/s, sin embargo una de ellas hacia arriba y que llamaremos A y otra hacia abajo que llamaremos B. Considerando que la gravedad es 10 m/sg2, calcular:

a) El tiempo que permanecen en el aire.
b) La velocidad con que llegan al suelo.
c) La altura máxima que alcanzó la bola A.

Un lanzamiento de masa despreciable

dificultad

Desde una altura de cuarenta metros se lanza hacia abajo un objeto de masa despreciables con una velocidad de 20m/s. ¿Cuanto tiempo tardara en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad impactará?

¡A por esa piedra!

dificultad

Una piedra se deja caer libremente al fondo de un precipicio de 80m de altura. Un segundo mas tarde una segunda piedra se lanza hacia abajo de tal forma que alcanza a la segundo justamente cuando esta llega al fondo.

  1. ¿Con qué velocidad se lanza la segunda piedra?
  2. ¿Qué velocidad llevaba la primera piedra cuando fue alcanzada?
  3. ¿Cuánto tiempo está en el aire la segunda piedra?

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del tema El Movimiento en Física. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Vector de Posición

Módulo vector posición en coordenadas cartesianas en 3 dimensiones

r=x2+y2+z2

Módulo vector posición en coordenadas cartesianas en 2 dimensiones

r=x2+y2

Vector de posición en 3 dimensiones cartesianas

r=xi+yj+zk

Vector de posición en 2 dimensiones cartesianas

r=xi+yj

Trayectoria y Ecuación de Posición

Ecuación de posición en cartesianas en dos dimensiones

rt=xti+ytj

Ecuación de posición en tres dimensiones y en cartesianas

rt=xti+ytj+ztk

Desplazamiento

Vector desplazamiento en tres dimensiones, coordenadas cartesianas

r=rf-ri=xf-xii+yf-yij+(zf-zi)k

Módulo del vector desplazamiento en dos dimensiones en cartesianas

r=xf-xi2+yf-yi2

Vector desplazamiento en dos dimensiones, coordenadas cartesianas

r=rf-ri=xf-xii+yf-yij

Módulo del vector desplazamiento en tres dimensiones en cartesianas

r=xf-xi2+yf-yi2+zf-zi2

Espacio Recorrido

Longitud arco de circunferencia

L=θr

Velocidad Media

Velocidad media

vm= r t= r2-r1t2 - t1

Velocidad Instantánea

Módulo velocidad expresión general

v=limt0vm=limt0r t=limt0s t

Módulo velocidad 3 dimensiones cartesianas

v=vx2+vy2+vz2

Módulo velocidad 2 dimensiones cartesianas

v=vx2+vy2

Velocidad instantánea

v=limt0vm=limt0r t=drdt

Celeridad Media

Celeridad media

cm= st= s2-s1t2 - t1

Celeridad Instantánea

Celeridad Instantánea

c=limt0st

Aceleración Media

Aceleración Media

am=v2-v1t2-t1=vt

Aceleración Instantánea

Módulo aceleración en 3 dimensiones cartesianas

a=ax2+ay2+az2

Módulo aceleración en 2 dimensiones cartesianas

a=ax2+ay2

Aceleración instantánea. Forma general

a=limt0am=limt0v t=dvdt

Componentes Intrínsecas de la Aceleración

Módulo aceleración en función de componentes intrínsecas

a=at2+an2

Aceleración en función componentes intrínsecas

a=at+an=atut+anun

Aceleración Tangencial

Aceleración tangencial

at=dvdtut

Aceleración Centrípeta o Normal

Aceleración normal o centrípeta

an=v2ρun

Ecuaciones Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)

Ecuación de posición en movimiento rectilíneo uniforme -eje x

x=x0+vt

Ecuación de aceleración en movimiento rectilíneo uniforme

a=0

Ecuación de velocidad en el movimiento rectilíneo uniforme

v=v0=cte

Gráficas Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)

Ecuación de posición en movimiento rectilíneo uniforme -eje x

x=x0+vt

Ecuación de aceleración en movimiento rectilíneo uniforme

a=0

Ecuación de velocidad en el movimiento rectilíneo uniforme

v=v0=cte

Definición de tangente de un ángulo


tanα=cateto opuestocateto contiguo=bc

Ecuaciones Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A.)

Ecuación de posición de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado -eje x

x=x0+v0t+12at2

Ecuación de posición de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado -eje y

y=y0+v0t+12at2

Ecuación de aceleración en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

a=cte

Ecuación de velocidad en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

v=v0+at

Gráficas Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A.)

Ecuación de posición de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado -eje x

x=x0+v0t+12at2

Ecuación de velocidad en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

v=v0+at

Ecuación de aceleración en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

a=cte

Caída Libre

Ecuación de posición en caída libre

y=H-12gt2

Ecuación de posición de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado -eje y

y=y0+v0t+12at2

Ecuación de velocidad en caída libre

v=-gt

Ecuación de aceleración en la superficie terrestre

a=-g

Lanzamiento Vertical

Ecuación de posición en lanzamiento vertical hacia abajo

y=H-v0t-12gt2

Ecuación de posición en lanzamiento vertical hacia arriba

y=H+v0t-12gt2

Ecuación de posición de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado -eje y

y=y0+v0t+12at2

Ecuación de velocidad del lanzamiento vertical hacia abajo

v=-v0-gt

Ecuación de velocidad del lanzamiento vertical hacia arriba

v=v0-gt

Ecuación de aceleración en la superficie terrestre

a=-g

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