Habilidades
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  • Derivadas

Ficha de contenidos

Al observar como se mueven la mayoría de los cuerpos, descubrimos que, por lo general, lo hacen en varias dimensiones: realizan giros, elevaciones, etc.

En este tema vamos a estudiar el movimiento en varias dimensiones:  por un lado veremos los movimientos que resultan de la composición de movimientos rectilíneos, por otro estudiaremos los movimientos circulares.

Matemáticamente utilizaremos dos herramientas matemáticas fundamentales: los vectores y las derivadas.

Ficha de ejercicios resueltos

Pon a prueba lo que has aprendido en el tema Movimiento en Dos y Tres Dimensiones con esta lista de ejercicios con sus respectivas soluciones y clasificados por apartados.

Introducción al Movimiento en Varias Dimensiones

¿Qué sabes de la composición de movimientos?

dificultad

Determina si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) El movimiento circular es un movimiento rectilíneo.
b) Movimientos no rectilíneos se pueden describir por medio de movimientos rectilíneos.
c) ¿Un cabeceo a puerta se puede estudiar como la composición de un m.r.u. y un m.r.u.a.? 

Lanzamiento Horizontal

Altura inicial en lanzamiento horizontal

dificultad

¿A qué altura debes situar un cañón capaz de lanzar proyectiles a una velocidad inicial de 230 km/h en el eje horizontal si quieres que caigan a una distancia de 250 m de la vertical en la que se produce el lanzamiento?

El tenis y el lanzamiento horizontal

dificultad

Una pelota de tenis situada a 2 metros de altura es golpeada por un jugador con su raqueta. La pelota sale despedida horizontalmente con una velocidad de 30 m/s. Responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuanto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo?
b) ¿Qué ángulo forma el vector velocidad con el eje X en el momento que alcanza el suelo?
c) Si, antes del golpe, la pelota se encuentra a 5 metros de la red ¿A qué altura pasa la pelota sobre la red?

Lanzamiento horizontal de bola rodante

dificultad

Una pelota de golf rueda con velocidad constante sobre la superficie de una mesa situada a 2.5 m de altura sobre el suelo. Al llegar al borde cae describiendo un lanzamiento horizontal de forma que a los 0.4 s se encuentra separada horizontalmente de la mesa una distancia de 1 metro. Determinar:

a) ¿A que velocidad constante rodaba la pelota sobre la mesa?
b) ¿Sabrías determinar a que distancia se encontrará horizontalmente la pelota cuando impacte contra el suelo?
c) ¿Cuál es la distancia de la pelota con respecto al suelo a los 0.4 s? 

Distancia inicial en lanzamiento horizontal

dificultad

Se ha declarado la cuarentena en un crucero de pasajeros debido a una intoxicación. Para ofrecer ayuda, la cruz roja envía un helicóptero con una caja llena de medicamentos. Dado que los tripulantes del helicóptero no deben acceder al barco, se decide lanzar el paquete sobre una colchoneta situada en el mismo.

Suponiendo que el crucero viaja a 72 km / h y que el helicóptero viaja en la misma dirección a 108 km / h y a una altura de 40 m, ¿A qué distancia horizontal del barco se deberá dejar caer el paquete? ¿Y si viajaran al encuentro el uno del otro, en sentidos contrarios? 

Movimiento Parabólico

Tiempo de vuelo, velocidad inicial y altura máxima en movimiento parabólico

dificultad

Un jugador de lanzamiento de peso de 1.95 metros de altura consigue lanzar un cuerpo a 25 metros de distancia. Sabiendo que la trayectoria se inicia con una elevación de 40º, calcula:

  1. Tiempo de vuelo del peso
  2. Velocidad inicial del peso
  3. Altura máxima del movimiento

Gooooooooll!!! Paraaaabólicooooo!!!

dificultad

Minuto 90 de juego... Lopera se acerca al balón para lanzar un libre directo a 40 metros exactos de la portería, da dos pasos hacia atrássss y lanzaaaa. El balón describe una trayectoria parabólica y sale con una elevación de 20º... y ¡¡¡¡¡GOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡GOOOOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡El balón entra por la escuadra a 1.70 metros de altura!!!. Tras oir esta emisión en la radio, ¿sabrías responder a las siguientes preguntas?

a) Desde que Lopera chuta y marca el gol, ¿cuánto tiempo ha transcurrido y a qué velocidad salió el balón desde las botas de Lopera?
b) ¿Qué altura máxima alcanzó el balón?
c) ¿Con qué velocidad llegó el balón a la portería?

 

Distancia de lanzamiento en movimiento parabólico

dificultad

Disponemos de un pequeño dispositivo que es capaz de lanzar proyectiles con una velocidad de v=3·i+4·j m/s. Determina a qué distancia debemos situarnos de una diana para hacer blanco en ella si:

  • la altura desde la que se produce el lanzamiento es de 1.8 m
  • la altura a la que se encuentra la diana es de 1.5 m

Ángulo de elevación en tiro parabólico

dificultad

Determina el ángulo respecto a la horizontal con el que hay que lanzar un balón para que entre a la portería rozando el palo superior, situado a una altura de 2.45 m y a 9 m del punto de lanzamiento. El balón es lanzado a una velocidad de 82 km/h. Ten en cuenta que el balón debe encontrarse en el punto más alto de su trayectoria para que entre rozando el palo superior de la portería.

Magnitudes Angulares

Conversión de grados a radianes

dificultad

Convierte de radianes a grados o grados a radianes los siguientes ángulos:

a) 230º
b) 1.34 rad
 

Tengo un tractor amarillo

dificultad

Un agricultor tiene un tractor amarillo cuyas ruedas delanteras tienen un radio de 40 cm y las traseras de 1.20 m. Cuando las ruedas delanteras hayan completado 10 vueltas, ¿Cuántas vueltas habrán completado las traseras?

Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)

Vector de posición en m.c.u.

dificultad
Un cuerpo describe un movimiento circular uniforme de 3 metros de radio. ¿Cuál es su vector de posición cuando su posición angular es de 30º?

Radio de un m.c.u.

dificultad

Un coche eléctrico a escala recorre una pista circular describiendo un movimiento circular uniforme. Si el centro de la pista se encuentra en la posición (0,0) m determina:

a) El vector de posición cuando se encuentra en la posición (3,4) m.
b) El radio de la trayectoria circular que describe.
c) Su posición angular cuando se encuentra en la posición (3,4) m.

Vector de posición a partir del espacio recorrido en m.c.u.

dificultad
Un móvil se desplaza describiendo una trayectoria circular y con velocidad lineal y angular constante equivalentes a 3m/s y 6 π rad/s respectivamente. Determina su vector de posición cuando ha recorrido exactamente un espacio de un metro.

Ecuaciones del Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)

Un paseo en tren

dificultad

Un tren de juguete apodado "el torpedo" recorre una trayectoria circular de 2 metros de radio sin posibilidad de cambiar su velocidad lineal. Sabiendo que tarda 10 segundos en dar una vuelta, calcular:

a) Su velocidad angular y su velocidad lineal.
b) El ángulo descrito y el espacio recorrido en 2 minutos.
c) Su aceleración.

Aceleración normal en una rueda

dificultad

Un disco circular de 1 m de radio gira a velocidad angular constante, de tal forma que tarda en dar una vuelta 1.2 s. ¿Cuál es la aceleración normal o centrípeta en los puntos externos de su periferia?

Aceleración centrípeta de la Luna

dificultad

Determina la aceleración centrípeta de la Luna sabiendo que una órbita completa alrededor de la tierra es de 27.32 días (periodo sidéreo) y que la distancia media es de 384000 km.

¿Cuando quedamos?

dificultad

Dos cuerpos c1 y c2 comienzan a moverse desde el mismo punto a velocidad angular constante, aunque en sentido contrario, a lo largo de una circunferencia de 30 m de radio. Si el primero tarda 20 segundos en dar una vuelta y el segundo 60 segundos, calcular:

a) El tiempo en que tardan en encontrarse.
b) El ángulo y el espacio recorrido por cada uno de ellos.

Gráficas del Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)

Graficas s-t, v-t, at-t y an-t en m.c.u.

dificultad

Basándote en las gráficas posición angular (φ-t), velocidad angular-tiempo (ω-t), aceleración angular-tiempo (α-t) del movimiento circular uniforme m.c.u., elabora las gráficas espacio recorrido-tiempo (s-t), velocidad-tiempo (v-t), aceleración tangencial-tiempo (at-t) y aceleración normal-tiempo (an-t) considerando que la velocidad angular ω>0.

Ecuaciones del Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (M.C.U.A)

M.C.U.A en aspas de ventilador

dificultad

Un ventilador cuyas aspas miden 30cm está situado en el techo girando a 140 r.p.m. Un apagón de luz hace que el ventilador se pare, tras 25 segundos. Calcula:

  1. Aceleración angular
  2. Espacio recorrido en el extremo de un aspa hasta que se detiene y el número de vueltas efectuado
  3. Valores de velocidad lineal, aceleración tangencial, normal y total a los 15 segundos del corte de luz

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del tema Movimiento en Dos y Tres Dimensiones. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Lanzamiento Horizontal

Ecuación de posición en movimiento rectilíneo uniforme -eje x

x=x0+vt

Ecuación de posición en caída libre

y=H-12gt2

Ecuación de velocidad en caída libre

v=-gt

Ecuación de aceleración en la superficie terrestre

a=-g

Ecuación de aceleración en movimiento rectilíneo uniforme

a=0

Ecuación de velocidad en el movimiento rectilíneo uniforme

v=v0=cte

Movimiento Parabólico

Ecuación de posición eje X

x=vxt=v0·cosα·t

Ecuación de posición eje Y

y=H+v0y·t-12·g·t2=H+v0·sinα·t-12·g·t2

Ecuación de la velocidad en eje X

vx=v0x=v0·cosα

Ecuación de la velocidad en el eje Y

vy=v0y-gt=v0·sinα-gt

Ecuación de la aceleración en el eje X

ax=0

Ecuación de la aceleración en el eje Y

ay=-g

Relación entre la velocidad en el eje X-Y y el ángulo de tiro

tanα=cateto opuestocateto contiguo=vyvxα=tan-1vyvx

Magnitudes Angulares

Relación espacio lineal - espacio angular

s=φ·R

Velocidad angular media

ωm=φt=φf-φitf-ti

Velocidad angular

ω=limt0φt=dφdt

Aceleración angular media

αm=ωt=ωf-ωitf-ti

Aceleración angular

α=limt0ωt=dωdt

Ecuación de la aceleración normal (m.c.u. y m.c.u.a.)

an=v2R=ω2·R

Relación velocidad lineal - velocidad angular

v=ω·R

Relación aceleración tangencial - aceleración angular

at=α·R

Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)

Vector de posición en movimiento circular

r=x·i+y·j=R·cosφ·i+R·sinφ·j

Ecuación de la aceleración tangencial (m.c.u.)

at=0

Velocidad angular en m.c.u.

ω=constante

Aceleración angular en m.c.u.

α=0

Ecuaciones del Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)

Posición angular en m.c.u.

φ=φ0+ω·t

Velocidad angular en m.c.u.

ω=constante

Aceleración angular en m.c.u.

α=0

Frecuencia del movimiento circular uniforme (m.c.u.)

f=ω2·π

Periodo del movimiento circular uniforme

T=2π/ω

Frecuencia del movimiento circular uniforme (m.c.u.)

f=ω2·π

Relación velocidad angular - período - frecuencia en m.c.u.

ω=2·πT=2·π·f

Gráficas del Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)

Posición angular en m.c.u.

φ=φ0+ω·t

Velocidad angular en m.c.u.

ω=constante

Aceleración angular en m.c.u.

α=0

Definición de tangente de un ángulo


tanα=cateto opuestocateto contiguo=bc

Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (M.C.U.A.)

Vector de posición en movimiento circular

r=x·i+y·j=R·cosφ·i+R·sinφ·j

Posición angular en m.c.u.a.

φ=φ0+ω·t+12·α·t2

Velocidad angular en m.c.u.a.

ω=ω0+α·t

Aceleración angular en m.c.u.a.

α=constante

Ecuaciones del Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (M.C.U.A)

Posición angular en m.c.u.a.

φ=φ0+ω·t+12·α·t2

Velocidad angular en m.c.u.a.

ω=ω0+α·t

Aceleración angular en m.c.u.a.

α=constante

Gráficas del Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (M.C.U.A)

Posición angular en m.c.u.a.

φ=φ0+ω·t+12·α·t2

Velocidad angular en m.c.u.a.

ω=ω0+α·t

Aceleración angular en m.c.u.a.

α=constante

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