Ejercicios Resueltos de Aplicaciones de las Derivadas

¿Qué función crece más rápido en el punto x=1/2 f(x)=7x³-x²-5x+3 ó g(x)=24x⁴-3x+2 ?

En los siguientes polinomios, determina sus máximos y sus mínimos, así como sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

1. $$f\left(x\right)=3x^2-6x$$
2. $$f\left(x\right)=x^3$$
3. $$f\left(x\right)=x^3-4x^2$$
4. $$f\left(x\right)=x^4-2x^2$$

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los máximos y mínimos de las siguientes funciones racionales:

1. $$f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$$
3. $$f\left(x\right)=\frac{2x^3+x^2-4}{x^2-4}$$
4. $$f\left(x\right)=\frac{5}{x^2\left(x-4\right)}$$

Determina el valor de los parámetros b y c en la siguiente parábola (polinomio de grado 2) para que la función tenga un extremo en (1,3) .

$$f\left(x\right)=x^2+bx+c$$

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento así como los máximos y los mínimos de f(x) a partir de la gráfica de f'(x) siguiente:

Determina los máximos y mínimos, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento en las siguientes funciones:

1. $$f\left(x\right)=e^x\left(x^2-4x\right)$$
2. $$f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$$
3. $$f\left(x\right)=x\ln \left(x\right)$$
4. $$f\left(x\right)=\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)$$con x∈[0, 2π)

Determina si los puntos indicados son de inflexión en las funciones señaladas.

1. x=-2 en $y=5-{\left(x+2\right)}^3$
2. x=5 en $y=3x+{\left(x-5\right)}^6$

Estudia la curvatura y los puntos de inflexión de las siguientes funciones:

1. $f\left(x\right)=2x^3-12x^2+18x$
2. $f\left(x\right)=\ln \left(x^2+2x+2\right)$
3. $f\left(x\right)=\frac{x^2-2}{x}$
4. $f\left(x\right)=e^x\left(x-2\right)$

Determina los coeficientes indicados en cada función a partir de los puntos notables y características señaladas:

1. f(x)=x³+ax²+bx+c corta al eje de abscisas en x=0 y tiene un punto de inflexión en (3,1)
2. f(x)=a·x³+bx²+cx+d corta al eje de ordenadas en y=1, tiene un extremo relativo en x=-1, tiene un punto de inflexión en x=-1/6 y su recta tangente en x=1 es paralela a la recta y=2x+3

Responde a las siguientes cuestiones:

1. Sea una función continua y= f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b]. Se cumple además que tanto f(a) como f(b) son distintos de cero y f(a)/f(b) es un número negativo. ¿Se puede aplicar el teorma de Bolzano a esta función en el intervalo [a, b]?

2. Dada la función y=tan(x) y sabiendo que $f\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=1 y f\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=-1$ ,¿se puede asegurar por el teorema de Bolzano que existe x=c perteneciente al intervalo $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{4}} {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right]$ tal que f(c)=0 ?

Determinar, cuando sea posible, al menos una raíz de las siguientes funciones con la precisión indicada:

1. $y=x^3+4x-1$ en todo su dominio, aproximando hasta las décimas
2. $f\left(x\right)=\frac{x^4-3x+1}{4-x}$ en [0,2] con una precisión de centésimas
3. $y=sen(x^3+x-1)$ en [0, 1] con una precisión de décimas

1. Dada la función f(x) continua en [1, 5] y sabiendo que f(1)=-4 y f(5)≥0, deducir si la función definida como g(x)=f(x)+2 se anula para algún valor x∈[1, 5]

2. Sea ahora la función y=f(x) continua y tal que f(-1)=-3 y f(3) mayor que cero o positiva, por lo que por el teorema de Bolzano tiene una raiz en el intervalo (-1 3).  ¿Se puede asegurar lo mismo de la función g(x)=f(x)+4? ¿Y de la función h(x)=f(x)+2?

Demostrar que la ecuación ${(3x+1)}^{Lnx}=2$ tiene solución y darla con aproximación  a las décimas.

Determinar si las siguientes funciones se cortan en algún punto:

1. y=cos(x) e y=x²
2. y=cos(x) e y=0,5x
3. f(x)=e^-x-e^x-1 y g(x)=Ln(x)

Deducir los posibles valores de  a y de b para que  a la función $y=\left\{\begin{array}{l}-1 x<1\\ -a x^2+b x\ge 1\end{array}\right.$ se le pueda aplicar el teorema de Bolzano en el intervalo [0,2].

Demostrar que cualquier función polinómica de quinto grado tiene al menos una raiz real. ¿Ocurre lo mismo con una función polinómica de cuarto grado?

Determina si las siguientes funciones toman los valores señalados:

1. f(x)=Ln(x), los valores comprendidos entre -10 y 10
2. f(x)=sin(x)+e^x, el valor y=1/2
3. f(x)=(x-2)²+2, el valor y=45/20
4. Un polinomio f(x)=P(x) del que se conoce que su término independiente, -2, y que P(2)=4. Razonar si puede tomar el valor P(x)=1
5. Una función f(x) de la que se conoce que f(a)=1, f(b)=3 y es continua en el intervalo [a, b], ¿se puede asegurar que tomar el valor f(c)=5 para algún c∈[a, b]?

Averigua, sin resolver la ecuación, si existe alguna solución en el intervalo [1, 4] para

(x-2)²+2=45/20.

¿Es posible afirmar, sin utilizar el teorema de Bolzano, que las siguientes funciones se cortan?

1. f(x)=cos(x) y g(x)=x+1
2. f(x)=cos(x) y g(x)=x²

Determina el valor del parámetro a para que la siguiente función tome todos los valores comprendidos entre f(-2) y f(1):

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}-2x^2-\frac{1}{2}x+a& \text{si} 0>x\\ -\sqrt{1-x}& \text{si} 0\le x\le 1\end{array}\right.$$

De una función f(x) se conoce que, en el intervalo [-2,2], toma todos los valores comprendidos entre 1 y 100. ¿Significa esto que la función es continua en [-2, 2]? Ayúdate de algún esbozo gráfico para encontrar la respuesta.

De una función f(x) se conoce que:

• es continua en el intervalo [-2,4]
• f(-2)=8
• f(4)=1

Marca las respuestas que sean correctas:

1. La función toma todos los valores entre 1 y 8
2. Existe al menos un valor c en el intervalo [-2, 4], tal que f(c)=4
3. La función no tiene ninguna raíz en el intervalo
4. El valor máximo que toma la función es f(x)=8 y el mínimo es f(x)=1
5. Todos los valores que puede tomar la función se encuentran comprendidos en el intervalo [1, 8]

Determina el valor de los siguientes límites:

1. $\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x^2+x-6}{2x^2-2x-24}$
2. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-1+e^{-x}}{\left(1/2\right)·x^2}$
3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(\cos \left(3x\right)\right)}{x}$
4. $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{e^x}$
5. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^{-x}}{x}$
6. $\underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\lim }\frac{\tan \left(5x\right)}{\tan \left(x\right)}$

Determina el valor de los siguientes límites:

1. $\underset{x\to \infty }{\lim }2x·\left(3^{\frac{1}{x}}-1\right)$
2. $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{\ln \left(x^2+1\right)}-\frac{1}{x^2}\right)$
3. $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^2+2-\sqrt{x^4-4x}\right)$
4. $\underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\lim }\left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)·\tan \left(x\right)$

Determina el valor de los siguientes límites:

1. $\underset{x\to 0}{\lim }\cos {\left(3x\right)}^{\frac{2}{x^2}}$
2. $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)}^{\frac{2}{x}}$
3. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\ln {\left(-x\right)}^{e^x}$
4. $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+x^2\right)}^{\frac{1}{x^2}}$
5. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x$
6. $\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{e^x}\right)}^{\sin \left(1/x\right)}$

Calcule dos números sabiendo que su suma es 4 y que el producto de ellos más 4 es máximo.

De todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 4 cm, hallar el de mayor área.

En el burguer de Toni quieren lanzar una nueva hamburguesa de queso y huevo. En las primeras dos semanas de lanzamiento de su deliciosa hamburguesa, Toni ha comprobado que ha vendido, de media, 350 unidades diarias, a un precio de 4.5€. Además, ha podido comprobar que por cada 0.10€ que aumenta el precio de venta, disminuye en dos el número de unidades vendidas. Sabiendo que el coste por hamburguesa para Toni es de 2€, ¿cuál debería ser el precio de venta para obtener el máximo beneficio?

Una nadadora se encuentra en alta mar a 3 km de distancia del punto A, siendo este el punto más cercano a la costa de una playa que podemos suponer recta. La nadadora trata de llegar a otro punto B de la costa, a 5 km del punto A. Suponiendo que puede nadar a 2 km/h y caminar a 6 km/h, ¿qué trayectoria debe seguir para llegar en el menor tiempo posible?