Enunciado
Un camión se desplaza a una velocidad de 40 km/h en línea recta sobre una carretera convencional. Sobre el mismo se sitúa un contenedor abierto. El peso del conjunto es de 1800 kg. En un momento determinado comienza a llover, y el contenedor se llena de agua a razón de 6 L/min. Despreciando el rozamiento, ¿a qué velocidad se mueve el camión al cabo de una hora de lluvia? Expresa dicha velocidad en función del tiempo.
Solución
Datos
- Velocidad inicial del camión vi = 40 km/h = 40·1000/3600 = 11.11 m/s
- Masa del conjunto m = 1800 kg
- Velocidad de llenado del contenedor: 6 L/min
- TIempo final considerado t = 1 h = 60 min = 3600 s
Resolución
Podemos resolver el problema aplicando el principio de conservación del momento lineal: En ausencia de fuerzas exteriores el momento permanece constante:
Observa, por un lado, que hemos considerado simplemente módulos de las magnitudes, y por otro, que hemos distinguido una masa inicial mi de una masa final mf. Efectivamente, a medida que se va llenando el contenedor la masa del conjunto se va incrementando, a razón de 6 litros cada minuto. El litro es una medida de volumen que equivale a 1dm3. Si suponemos que la densidad del agua es de...
...entonces tenemos que cada minuto la masa del conjunto se incrementa 6 kg. Una forma de expresar esto matemáticamente es recurrir a la ecuación continua de una recta, asumiendo que la recta es precisamente la masa, y la variable de la que depende el tiempo. Conocemos dos puntos de dicha recta:
- Para t = 0, la masa es de 1800 kg
- Para t = 60 min la masa es de 1800 + 60·6 = 2160
Por tanto, la ecuación de la masa en función del tiempo nos queda:
Donde t se expresa en minutos. Así, ya estamos en disposición de calcular la velocidad pedida. Para t = 60 min nos queda mf = 2160 kg y volviendo al principio de conservación:
Para el cálculo de la expresión general de la velocidad en función del tiempo simplemente sustituimos la expresión de la masa en función del tiempo en la expresión del principio de conservación del momento: