Ecuación continua de la recta conocidos un punto y un vector director

Tal y como estudiamos en las ecuaciones paramétricas de la recta, si A(a1,a2) es un punto conocido de una recta r que posee un vector director v=v1,v2 y P(x,y) un punto cualquiera de ella sabemos que sus coordenas x e y son:

x=a1+λ·v1y=a2+λ·v2  λ

Si despejamos λ en ambas ecuaciones:

λ=x-a1v1         λ=y-a2v2

y las igualamos obtenemos lo que se denomina ecuación continua de la recta

La ecuación continua de cualquier recta r se obtiene por medio de la siguiente expresión:

x-a1v1=y-a2v2

Donde:

  • x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.
  • a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).
  • v1 y v2 son las componentes de un vector director v=v1,v2 de r.

Ecuación continua de la recta conocidos dos puntos de la misma

Si en vez de conocer un punto A y un vector director v de una recta conocemos al menos dos puntos de la misma A y B, también podremos calcular su ecuación continua. Para ello, basta con utilizar ambos puntos para calcular un vector director aplicando la propia definición de vector. De esta forma, un posible vector podría ser  v=b1-a1,b2-a2.

La ecuación continua de cualquier recta r se pueden obtener por medio de la siguiente expresión:

x-a1b1-a1=y-a2b2-a2

Donde:

  • x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.
  • a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).
  • b1 y b2 son las coordenadas de otro punto conocido de la recta B(b1,b2).

En ocasiones también verás escritas las coordenadas de los puntos A y B como A(x1,y1) y B(x2,y2), donde los subíndices 1 y 2 en este caso hacen referencia al primer punto (A) y al segundo punto (B). De esta manera la ecuación queda:

x-x1x2-x1=y-y1y2-y1

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

La ecuación continua de una recta conociendo su vector y un punto

dificultad

Determina la ecuación continua de una recta que pasa por el punto A(7,-2) y posee un vector director v=(-3,5) . ¿Podrías indicar otro punto más de dicha recta?

Ecuación continua de una recta conocidos dos puntos

dificultad

Sabiendo que A(-1,2) y B(5,0) pertenecen a una recta r, determinar su ecuación continua.

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Ecuación continua de la recta. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

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Ecuación continua de la recta conocidos un punto y un vector

x-a1v1=y-a2v2

Ecuación continua de la recta conocidos dos puntos

x-a1b1-a1=y-a2b2-a2

Ficha de apartados relacionados

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