Parámetro de función a partir de condiciones en recta tangente

Consideraciones previas

Ya sabes que la ecuación de la recta tangente a una función en un punto (a, f(a)) viene dada por la expresión:

Por ello, la pendiente de la recta tangente es precisamente el valor de la derivada en x=a, es decir, f'(a).

Resolución

1.

Para calcular el parámetro m, comenzamos calculando el valor de la derivada en x=1:

Ahora, sabemos que el valor de la pendiente de la tangente, es decir, de la derivada, es 8 en x=1, con lo que:

Así pues, la función sería

2.

En primer lugar, sabemos que la curva pasa por el punto (2,12), esto quiere decir que cuando x=2, y=12, o dicho de otra manera, que f(2)=12. Planteando esa igualdad obtenemos:

Por otro lado, la pendiente de la recta tangente, es decir, la derivada, en x=-1 vale 1, con lo que:

Como puedes ver, de cada condición hemos obtenido una ecuación. Resolviendo el sistema nos queda:

Siendo la función buscada .

3.

Observa que, aunque parezca una sola condición, en realidad son 2, al igual que antes. Nos dicen el punto en el que el valor de la recta tangente es 0 (es paralela al eje x, siendo este (1/2, -3/2). Esto quiere decir que f(1/2)=-3/2:

Por otro lado, calculamos la derivada y la igualamos a 0 (como dijimos, las rectas paralelas al eje de abscisas tienen pendiente 0):

Resolviendo el sistema obtenemos los valores de los parámetros a y b:

Por tanto, la función buscada es .