La función derivada es aquella que, en cada punto de abscisa x, asocia a una determinada función f(x), el valor de su variación instantána. En este apartado vamos a presentar las reglas que seguiremos normalmente para su cálculo. Lo haremos a través de los siguientes puntos:

¿Empezamos?

Recuerda que, aunque suele ser más laborioso, siempre puedes utilizar la propia definición de función derivada para su cálculo:

f'x=limh0fx+h-fxh

Tabla resumen

Si eres de los que comienza a leer un libro echando un ojo a su última página, te ahorramos que bajes hasta el final de esta, y te presentamos aquí un cuadro resumen con las reglas de derivación. Observa que en las columnas situadas más a la izquierda tenemos los casos más sencillos posibles de cada tipo. Así, por ejemplo, el tipo de la función potencial más simple es que la x esté elevada a un número (f(x)=xn ⇒ f'(x)=nxn-1). En las dos columnas derechas, el caso de que, en lugar de x tengamos una función f(x).

Hemos marcado con un asterisco aquellos tipos que consideramos fundamentales, y que debes aprender. Memoriza solo los casos con x (columnas izquierdas), y aplica lo siguiente para deducir las dos columnas derecha: "si en lugar de x tengo f(x), sustituyo x por f(x) en la regla que corresponda, y multiplico por f'(x)". Se trata de la regla de la cadena, que estudiaremos más abajo.

Derivada de funciones elementales
  Con x Con f(x)
Tipo f(x) f'(x) g(x) g'(x)
Constante* f(x)=k f'(x)=0    
Identidad f(x)=x f'(x)=1 g(x)=f(x) g'(x)=1·f'(x)
Potencial* f(x)=xn f'(x)=n·xn-1 g(x)=f(x)n g'(x)=n·f(x)n-1·f'(x)
Constante por función* f(x)=k·xn f'(x)=k·n·xn-1 g(x)=k·f(x) g'(x)=k·f'(x)
Raíz cuadrada fx=x f'x=12x gx=fx g'x=12fx·f'x
Logaritmo neperiano fx=lnx f'x=1x gx=lnfx g'x=1fx·f'x
Logaritmo en base a* fx=logax f'x=1xlogae gx=logafx g'x=1fx·logae·f'x
e elevado a x f(x)=ex f'(x)=ex g(x)=ef(x) g'(x)=ef(x)·f'(x)
Exponencial* f(x)=ax f'(x)=ax·ln(a) g(x)=af(x) g'(x)=af(x)·ln(a)·f'(x)
Seno* f(x)=sin(x) f'(x)=cos(x) g(x)=sin(f(x)) g'(x)=cos(f(x))·f'(x)
Coseno* f(x)=cos(x) f'(x)=-sin(x) g(x)=cos(f(x)) g'(x)=-sin(f(x))·f'(x)
Tangente f(x)=tan(x) f'x=1cos2x==1+tan2x==sec2x g(x)=tan(f(x)) g'x=1cos2fx·f'x==1+tan2fx·f'x==sec2fx·f'x
Arcoseno fx=arc sinx f'x=11-x2 fx=arc sinfx f'x=11-fx2·f'x
Arcocoseno fx=arc cosx f'x=-11-x2 fx=arc cosfx f'x=-11-fx2·f'x
Arcotangente fx=arc tanx f'x=11+x2 gx=arc tanfx g'x=11+fx2·f'x

Además, también es importante que conozcas las reglas para las operaciones con derivadas.

Derivada de operaciones con funciones
Operación  
Suma Df+g=f'+g'
Resta Df-g=f'-g'
Multiplicación Df·g=f'g+f·g'
División Dfg=f'g+f·g'g2
Composición (Regla de la cadena) Dgxfx=g'fx·f'x

Finalmente, dedicaremos otros apartados del tema a tratar técnicas de derivación habituales, como la derivación logarítmica o la implícita. Estudiando bien estas tablas, los ejercicios relacionados y las citadas técnicas no habrá derivada que se te pueda resistir.

Ten presente que normalmente existen varios caminos para resolver una derivada. Lo importante es que cada paso que des sea correcto. Por ejemplo, hemos visto en la tabla que:

fx=xf'x=12x

Pero también:

fx=x=x12f'x=12·x12-1=12·x-12=12·x12=12x

Funciones elementales

Derivada de una constante

La derivada de una constante es 0:

fx=kf'x=0

derivada de la función constante

Grafica de la derivada de la función constante

A la izquierda, una función constante. A la derecha, su derivada, que es cero. Recuerda que la pendiente de cualquier constante es 0 en cualquier punto, de ahí que su derivada, que representa la pendiente de la recta tangente, sea también 0.

Ejemplo

fx=-3f'x=0

Demostración

fx=kf'x=limh0fx+h-fxh=limh0k-kh=0

Derivada de la función identidad

La derivada de la función identidad es 1:

fx=xf'x=1

derivada de la función identidad

Grafica de la derivada de x

A la izquierda, la función identidad. A la derecha, su derivada, que es 1. Observa que la pendiente de la función identidad es siempre 1, de ahí que su derivada sea también 1 para cualquier x.

Ejemplo

fx=xf'x=1

Demostración

fx=xf'x=limh0fx+h-fxh=limh0x+h-xh=1

Derivada de una función potencial

La derivada de x elevado a un número real n es el producto de ese número real por x elevado a ese mismo número menos una unidad:

fx=xnf'x=n·xn-1 n

derivada de un polinomio

Grafica de la derivada de un polinomio

Los polinomios pueden ser considerados un tipo concreto de función potencial. Concretamente, cada vez que se deriva uno de estos, obtenemos un polinomio de un grado una unidad menor. Así, en la figura tenemos el caso de dos polinomios sencillos del tipo xn, denominados monomios. En 1, tenemos una parábola f(x)=x2, que es un polinomio de grado 2. Al derivarla, en 2, obtenemos un polinomio de grado 1. En el caso de 3 tenemos un polinomio de grado 3. Al derivarlo, en 4, obtenemos una parábola (polinomio de grado 2).

Observa que, bajo esta categoría, y aplicando las propiedades de las potencias, podemos englobar las funciones radicales y aquellas de exponente negativo, pero también la podemos aplicar a la propia función identidad.

Ejemplo

fx=x3f'x=3·x3-1=3x2fx=xfx=amn=am/nx12f'x=12·x12-1=12x-12=a-n=1an12x12=amn=am/n12xfx=1xfx=a-n=1anx-1f'x=-1·x-1-1=-x-2=a-n=1an-1x2fx=xfx=x1f'x=1·x1-1=x0=a0=11

Demostración

Para comprobar la fórmula anterior supondremos que n es un número natural. El resultado se mantiene cuando n es cualquier número real, pero lo dejamos como ejercicio propuesto. Así pues, comenzamos aplicando la propia definición de función derivada:

fx=xnf'x=limh0fx+h-fxh=limh0x+hn-xnh

Para poder seguir debemos desarrollar la expresión (x+h)n. Recuerda que para ello usamos el teorema del binomio o binomio de Newton:

a+bn=k=0nnkan-kbk=n0an+n1an-1b+n2an-2b2++nn-1a·bn-1+nnbn

Con lo que la derivada nos queda:

f'x=limh0x+hn-xnh=limh0n0xn+n1xn-1h+n2xn-2h2++nn-1x·hn-1+nnhn-xnh=n0=nn=1n1=nn-1=n=limh0xn+n·xn-1h+n2xn-2h2++nn-1x·hn-1+nnhn-xnh==limh0h·n·xn-1h+limh0n2xn-2h++nn-1x·hn-2+nnhn-1=n·xn-1

Derivada de una constante por una función

La derivada de la multiplicación de un número real k por una función es el número real por la derivada de la función:

fx=k·xnf'x=k·n·xn-1

Ejemplo

fx=4x2f'x=4·2·x2-1=8xfx=-3xf'x=-3·1·x1-1=-3x0=a0=1-3

Demostración

Recuerda que, en el caso de los límites, se cumple que, al multiplicarlos por una constante, el resultado es igual que la constante por el valor del límite, tal y como veíamos en las propiedades de los límites. Dado que una derivada no es más que un límite, también se cumple esta propiedad.

fx=k·xnf'x=limh0fx+h-fxh=limh0kx+hn-kxnh=limh0kx+hn-xnh==k·limh0x+hn-xnh=Comprobación anteriork·n·xn-1

Derivada de una función raíz

La derivada de un radical viene dada por:

fx=xnf'x=1nxn-1n

Así pues, para el caso de la raíz cuadrada:

fx=xf'x=12x

Ejemplo

fx=xf'x=12xfx=x3f'x=13x2

Demostración

Como sabes, las raíces pueden ser reescritas como potencias, con lo que:

fx=xnamn=amnfx=x1nf'x=1nx1n-1=1nx-n-1n=a-n=1an1n·xn-1n=amn=amn1n·xn-1n

Derivada del logaritmo neperiano

La derivada del logaritmo neperiano es:

fx=lnxf'x=1x

Recuerda, un logaritmo neperiano, abreviado ln no es más que un logaritmo cuya base es el número e, loge.

Ejemplo

fx=lnxf'x=1xfx=3·lnxf'x=3·1xfx=ln1xlnab=lna-lnbfx=ln1-lnx=ln1=0-lnxf'x=-1x

Observa las transformaciones aplicadas en el último ejemplo. En ocasiones es necesario transformar la función original para poder aplicar una determinada regla.

Demostración

fx=lnxf'x=limh0fx+h-fxh=limh0lnx+h-lnxh=lna-lnb=lnablimh0lnx+hxh==limh01h·lnx+hx=blna=lnablimh0lnx+hx1h

Ahora recuerda que, tal y como ya hemos visto en las propiedades de los límites...

limlogaf=logalimf

...con lo que:

limh0lnx+hx1h=lnlimh0x+hx1h

Para resolver ese límite, buscamos el número e, tal y como veíamos al resolver las indeterminaciones de tipo 1, recordando que:

limalgo1+1algoalgo=e

Con lo que nos queda:

lnlimh0x+hx1h=lnlimh01+1xh1h==lnlimh01+1xhxh1x=lne1x=1xlne=1x

Derivada del logaritmo en base a

La derivada del logaritmo en base a es:

fx=logaxf'x=1xlogae

Siendo a+.

Observa que, el caso del logaritmo neperiano visto anteriormente, es un caso particular de este, en el que a=e:

fx=lnx=logexf'x=1xlogee=1x

derivada de la función logarítmica

Grafica de la derivada logarítmica

A la izquierda, la función logaritmo neperiano. A la derecha, su derivada, que es una hipérbola. Recuerda que Domf'Domf. Como puedes ver, Domf = (0, ∞), con lo que el dominio de la función derivada queda restringido: Domf' = (0, ∞).

Ejemplo

fx=log2xf'x=1xlog2efx=3·log2xf'x=3·1xlog2e

Demostración

El desarrollo es similar al caso anterior, pero considerando un logaritmo de base genérica a.

Derivada de e elevado a x

La derivada de e elevado a x es e elevado a x:

fx=exf'x=ex

Ejemplo

fx=3exf'x=3exfx=exf'x=-ex

Para demostrar esta regla es necesario hacer uso de la derivación logarítmica, que veremos en un apartado posterior.

Derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial a elevado a x, siendo a cualquier número real positivo, es:

fx=axf'x=ax·lna

Observa que estamos ante una regla que engloba el caso de f(x)=ex.

derivada de la función exponencial

Grafica de la derivada de la función exponencial

La derivada de la función exponencial es otra función exponencial, escalada verticalmente por un factor ln(a). A la izquierda, función exponencial 2x, y a la derecha su derivada.

Ejemplo

fx=3xf'x=3x·ln3fx=exf'x=ex·lne=ex

Para demostrar esta regla también es necesario hacer uso de la derivación logarítmica.

Derivada del seno

La derivada del seno es el coseno:

fx=sinxf'x=cosx

derivada de la función seno

Grafica de la derivada del seno

A la izquierda, en rojo, la función seno de x. A la derecha, en verde, su derivada, la función coseno de x.

Ejemplo

fx=3·sinxf'x=3·cosxfx=sinx2f'x=12·cosx

Demostración

Aplicando la definición de derivada:

fx=sinxf'x=limh0fx+h-fxh=limh0sinx+h-sinxh

Ahora, recordando las identidades trigonométricas, sabemos que...

sin A+sin B = 2 sin A+B2·cos A-B2

... y así podemos transformar la diferencia de senos en un producto, quedando:

limh0sinx+h-sinxh=limh02cosx+h+x2sinx+h-x2h=limh0cosx+h2sinh2h2==limh0cosx+h2sinh2h2

Ahora vamos a adelantarnos a un resultado que obtendremos cuando estudiemos los infinitésimos equivalentes:

sinxx si x0

Con lo que podemos escribir

limh0cosx+h2sinh2h2=limh0sinh2h2=1limh0cosx+h2·1=cosx

Derivada del coseno

La derivada del coseno es el seno, con signo negativo:

fx=cosxf'x=-sinx

derivada de la función coseno

Grafica de la derivada del coseno

A la izquierda, en rojo, la función coseno de x. A la derecha, en verde, su derivada, la función menos seno de x.

Ejemplo

fx=3·cosxf'x=-3·sinxfx=-12cosxf'x=-12·-sinx=12·sinx

Demostración

Se trata de un proceso similar a la derivada del seno. Observa, partimos de la definición de derivada:

fx=cosxf'x=limh0fx+h-fxh=limh0cosx+h-cosxh

Ahora, recordando las identidades trigonométricas, sabemos que...

cos A-cos B = -2 sin A+B2·sin A-B2

... y así podemos transformar la diferencia de cosenos en un producto, quedando:

limh0cosx+h-cosxh=limh0-2sinx+h+x2sinx+h-x2h=limh0-sinx+h2sinh2h2==limh0-sinx+h2sinh2h2

Ahora ya hemos señalado que:

sinxx si x0

Con lo que podemos escribir...

limh0-sinx+h2sinh2h2=limh0sinh2h2=1limh0-sinx+h2·1=-sinx

Para recordar qué derivada es la que cambia el signo, entre la del seno y la del coseno, puedes recordar COseno ⇒ COn signo.

Derivada de la tangente

La derivada de la tangente puede ser escrita de tres maneras equivalentes:

fx=tanxf'x=1cos2x=1+tan2x=sec2x

Ejemplo

fx=2·tanxf'x=2cos2xfx=-2·tanxf'x=-2·1+tan2x=-2-2·tan2xfx=-tanxf'x=-sec2x

Demostración

Podemos demostrar fácilmente esta regla si tenemos en cuenta la propia definición de tangente en función del seno y del coseno, tan(x)=sin(x)/cos(x), pero para ello es necesario que adelantemos el cálculo de la derivada de un cociente de funciones, que veremos en detalle más abajo:

Dfg=f'·g-f·g'g2

Con lo que nos queda:

Dsinxcosx=cosx·cosx-sinx·-sinxcos2x=sin2a+cos2a1cos2x

Que también puede ser reescrito:

1cos2x=sin2a+cos2asin2x+cos2xcos2x=sin2xcos2x+cos2xcos2x=tan2x+1

Y que también puede ser reescrito:

1cos2x=1cosx2=seca=1cosasec2x

Recuerda que las funciones cosecante, secante y cotangente se definen como las inversas del seno, del coseno y de la tangente respectivamente, y como tal las podemos derivar:

Dcscx=D1sinx;Dsecx=D1cosx ;Dcotx=D1tanx

Derivada del arcoseno

La derivada del arcoseno es:

fx=arc sinxf'x=11-x2

Ejemplo

fx=3·arc sinxf'x=3·11-x2

Para demostrar esta regla es necesario hacer uso de la regla de la cadena, con lo que lo demostraremos en el apartado correspondiente.

Derivada del arcocoseno

La derivada del arcocoseno es:

fx=arc cosxf'x=-11-x2

Ejemplo

fx=-3·arc cosxf'x=-3·-11-x2=31-x2

Para demostrar esta regla es necesario hacer uso de la regla de la cadena, con lo que lo demostraremos en el apartado correspondiente.

Derivada del arcotangente

La derivada del arcotangente es:

fx=arc tanxf'x=11+x2

Ejemplo

f'x=14·arc tanxf'x=14·11+x2

Para demostrar esta regla es necesario hacer uso de la regla de la cadena, con lo que lo demostraremos en el apartado correspondiente.

Operaciones con derivadas

Dado que la derivada de una función es, por definición, un límite, se cumplen las mismas propiedades que en ellos cuando se operan con funciones. Así pues:

Derivada de la suma y resta de funciones

La derivada de la suma de varias funciones es la suma de sus derivadas. La derivada de la resta de varias funciones es la resta de sus derivadas. Por tanto, para cualquier valor de x en que dos funciones f y g sean derivarles, se cumple:

Df+g=f'+g' ;Df-g=f'-g'

Ejemplo

fx=3x2gx=2xDf+g=D3x2+2x=D3x2+D2x=6x+2Df-g=D3x2-2x=D3x2-D2x=6x-2

Demostración

Df+gx=limh0f+gx+h-f+gxh=limh0fx+h+gx+h-fx+gxh==limh0fx+h-fxh+limh0gx+h-gxh=f'x+g'xDf-gx=limh0f-gx+h-f-gxh=limh0fx+h-gx+h-fx-gxh=limh0fx+h-fxh-limh0gx+h-gxh=f'x-g'x

Derivada del producto

La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, más la derivada de la segunda función por la primera sin derivar. Por tanto, para cualquier valor de x en que dos funciones f y g sean derivables, se cumple:

Df·g=f'·g+f·g'

Ejemplo

fx=3x2gx=lnxf'x=6xg'x=1xDf·g=6x·lnx+3x2·1x

Comprobación

Df·gx=limh0f·gx+h-f·gxh=limh0fx+h·gx+h-fx·gxh=+fx+h·gx-fx+h·gxh=limh0fx+h·gx+h-fx·gx+fx+h·gx-fx+h·gxh=limh0fx+h·gx+h-gxh+limh0fx+h-fxgxh==limh0fx+h·limh0gx+h-gxh+limh0fx+h-fxh·limh0gx=fx·g'x+f'x·gx

Derivada del cociente

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar, menos la derivada de la segunda función por la primera sin derivar, dividido todo ello por la segunda función al cuadrado. Por tanto, para cualquier valor de x en que dos funciones f y g sean derivables, y que g sea distinto de cero, se cumple:

Dfg=f'·g-f·g'g2

Ejemplo

fx=3x2gx=lnxf'x=6xg'x=1xDfg=6x·lnx-3x2·1xln2x=3x·2·lnx-1ln2x

Demostración

Para comprobar esta regla tendremos en cuenta que el cociente de divisiones se puede expresar como un caso particular del producto, así pues, podemos aplicar la regla del producto, ya demostrada. Observa:

Dfg=Df·1g=f'·1g+f·D1g

Para resolver D(1/g) podremos hacer uso de la regla de la cadena, pero como todavía no la hemos introducido, usaremos la propia definición de derivada para su cálculo:

ux=1gxD1gx=Dux=limh0ux+h-uxh=limh01gx+h-1gxh==limh0gx-gx+hgx+h·gxh=limh0gx-gx+hh-g'x·limh01gx+h·gx=-g'xgx2

Con lo que nos queda:

Dfg=Df·1g=f'·1g+f·D1g=f'·1g+f·-g'g2=f'·g-f·g'g2

Derivada de la composición

Recuerda, en primer lugar, que la función compuesta se obtiene aplicando una función a las imágenes de otra. El siguiente es un ejemplo de f compuesta con g:

gfx=gfxfx=3xgx=x+1gfx=gfx=3x+1

La derivada de la composición de funciones también se conoce como regla de la cadena y establece que si f es derivable en x y g lo es en f(x), gf será derivable en x y tendrá por expresión:

Dgfx=Dgfx=g'fx·f'x

Estudiaremos con más profundidad esta regla en su propio apartado, ya que supone la base para derivar funciones complejas. Tal y como veíamos en la tabla resumen, más arriba, esta regla nos permite decir "si en lugar de x tengo f(x), sustituyo x por f(x) en la regla que corresponda, y multiplico por f'(x)".

Ejemplo

fx=sinxgx2f'x=2sinx2-1·cosxg'x=2sinxcosxfx=lnx2gxf'x=1x2·2xg'x=2x

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Derivadas sencillas

dificultad

Resuelve las siguientes derivadas inmediatas:

  1. fx=3x2+2x
  2. fx=x+25
  3. fx=sinx-cosx
  4. fx=lnx+ex
  5. fx=3x-1x

Derivadas de productos y cocientes

dificultad

Resuelve las derivadas de las siguientes funciones. Puedes utilizar las reglas para la derivación de multiplicaciones y divisiones de funciones:

  1. fx=x3·cosx
  2. fx=2x2-1x3-x
  3. fx=sinx-2x+2cosx
  4. fx=x3·e-x
  5. fx=sinx+cosxtanx
  6. fx=sinx·lnx·ex
  7. fx=3xx2log2x

Derivadas intermedias

dificultad

Resuelve las siguientes derivadas, de dificultad intermedia:

  1. fx=e2x
  2. fx=sinx+x22
  3. fx=ln1+3x
  4. fx=lnx
  5. fx=esinx+x
  6. fx=arc cossinx

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Reglas de Derivación. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Derivada de una función constante

fx=kf'x=0

Derivada de una función potencial

fx=xnf'x=n·xn-1 n

Derivada de una constante por una función

gx=k·fxg'x=k·f'x

Derivada de un logaritmo

fx=logaxf'x=1xlogae

Derivada de la función exponencial

fx=axf'x=ax·lna

Derivada del seno

fx=sinxf'x=cosx

Derivada del coseno

fx=cosxf'x=-sinx

Derivada del arcoseno

fx=arc sinxf'x=11-x2

Derivada del arcocoseno

fx=arc cosxf'x=-11-x2

Derivada de la suma y resta de funciones

Df+g=f'+g' ;Df-g=f'-g'

Derivada del producto de funciones

Df·g=f'·g+f·g'

Derivada del cociente de funciones

Dfg=f'·g-f·g'g2

Regla de la cadena

Dgfx=Dgfx=g'fx·f'x

Ficha de apartados relacionados

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