Ejercicios Resueltos de Derivadas

Dada la siguiente tabla de valores...

...determina la tasa de variación media en los siguientes intervalos:

1. [-2, -1]
2. [-2, 0]
3. [-1, 1]
4. [0, 2]

Determina la tasa de variación media de las funciones en los intervalos indicados

1. $$f\left(x\right)=2x^2-\frac{3x}{5 } \text{en} \left[5,10\right]$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{3x+2}{x-1} \text{en} \left[2, 2+h\right]$$
3. $$f\left(x\right)=\sqrt{x+3} \text{en} \left[x,a\right]$$
4. $$f\left(x\right)=x^3+x \text{en} \left[-3,0\right]$$
5. $$f\left(x\right)=a{x}^2+b \text{en} \left[-1, 1\right]$$

Calcula la tasa de variación media en los intervalos señalados a partir de la información de las gráficas

Función 1

a) [-2,0]

b) [-2,3]

c) [0,4]

Función 2

a) [-4,-2]

b) [-2,2]

c) [-4,4]

Función 3

a) [-3,-1]

b) [1,3]

c) [-3,3]

Función 4

a) [a,b]

Calcula la tasa de variación instantánea en los siguientes casos.

1. $$f\left(x\right)=x^2-2 \text{en} x=3$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{1}{x-1} \text{en} x=a$$
3. $$f\left(x\right)=\frac{5-x}{3} \text{en} x=\sqrt{3}$$
4. $$f\left(x\right)=\sqrt{x+2} \text{en} x=1$$

5. En la gráfica de la figura, en x=-3:

   

6. En la gráfica de la figura, en x=-1:

   
7. $$s\left(t\right)=3+5t+8t^2 \text{en} t=2sg$$
8. $$v\left(t\right)=5+16t \text{en} t=1sg$$

Calcula hasta la 3ª derivada aplicando la definición en la función $f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+2x-1$

Qué valor tendrá la pendiente de la recta tangente a f(x) en x=3.

Calcula f'(-3), f'(2) y f'(-2) a partir de la información de la gráfica de f(x), en rojo, en la siguiente imagen:

Relaciona cada gráfica de la columna izquierda, con su derivada en la columna derecha.

Sabiendo que la siguiente gráfica corresponde a la derivada de f(x), f'(x), ¿cuánto vale la pendiente de la recta tangente a f(x) en x=0?

Y si la gráfica correspondiese directamente a f(x), ¿cuál será el valor de f'(3)?

¿Cuáles serán los puntos de derivada nula?

¿Cuál es el valor de x si f(x)=-1

Resuelve las siguientes derivadas inmediatas:

1. $$f\left(x\right)=3x^2+\frac{2}{x}$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{x+2}{5}$$
3. $$f\left(x\right)=\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)$$
4. $$f\left(x\right)=\ln \left(x\right)+e^x$$
5. $$f\left(x\right)=3\sqrt{x}-\frac{1}{x}$$

Resuelve las derivadas de las siguientes funciones. Puedes utilizar las reglas para la derivación de multiplicaciones y divisiones de funciones:

1. $$f\left(x\right)=x^3·\cos \left(x\right)$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{2x^2-1}{x^3-x}$$
3. $$f\left(x\right)=\left(\sin \left(x\right)-2x+2\right)\cos \left(x\right)$$
4. $$f\left(x\right)=x^3·e^{-x}$$
5. $$f\left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)}{\tan \left(x\right)}$$
6. $$f\left(x\right)=\sin \left(x\right)·\ln \left(x\right)·e^x$$
7. $$f\left(x\right)=\frac{3^x{x}^2}{{\log }_2\left(x\right)}$$

Resuelve las siguientes derivadas, de dificultad intermedia:

1. $$f\left(x\right)=e^{2x}$$
2. $$f\left(x\right)=\sin \left(x+\frac{x^2}{2}\right)$$
3. $$f\left(x\right)=\ln \left(1+\sqrt{3}x\right)$$
4. $$f\left(x\right)=\sqrt{\ln \left(x\right)}$$
5. $$f\left(x\right)=e^{\sin \left(x\right)}+x$$
6. $$f\left(x\right)=\mathrm{arc} \cos \left(\sin \left(x\right)\right)$$

Resuelve las siguientes derivadas laterales como creas oportuno:

1. $$f\left(x\right)=2x+1 \text{en} x=0$$
2. $$f\left(x\right)=e^x+1 \text{en} x=-3$$
3. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{lll}{x}^2-1& \text{si}& x<0\\ -x+2& \text{si}& x\ge 0\end{array} \text{en} x=2 \text{y en} x=0\right.$$
4. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x}{2}+ 0,5& \text{si}& x<1\\ 2x^2-1& \text{si}& x\ge 1\end{array} \text{en} x=1 \right.$$
5. $$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1} \text{en} x=1$$
6. $$f\left(x\right)=x\left|x-2\right|$$
7. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{lll}{a}^x-2& \text{si}& x<-1\\ \frac{-bx}{3}& \text{si}& x\ge -1\end{array} \text{en} x=-1\right.$$

Calcula la siguiente derivada de esta función en valor absoluto:

1. $$f\left(x\right)=\left|x-1\right|+\left|x\right|$$

Calcula las derivadas laterales a partir de la siguiente gráfica en los puntos de abcisa x₁=-2, x₂=-1, x₃=1, y x₄=3.

Averigua y explica en qué puntos no son derivables las siguientes funciones:

1. $$f\left(x\right)=\left|x^2-x-6\right|$$
2. $$f\left(x\right)=\left|x-2\right|$$
3. $$f\left(x\right)=\left|x^2-4\right|$$
4. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2+2& \text{si}& x<0\\ -x+1& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right.$$
5. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2+1& \text{si}& x<-1\\ -x+1& \text{si}& x\ge -1\end{array}\right.$$
6. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2-x+1& \text{si}& x\le 1\\ x& \text{si}& x>1\end{array}\right.$$

Determina, si es posible, el valor de los parámetros para que las siguientes funciones sean derivarles en todo su dominio:

1. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}a{x}^2+2x+6& \text{si}& x<2\\ x^3+bx+2& \text{si}& x\ge 2\end{array}\right.$$
2. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2-ax+b+1& \text{si}& x\le 1\\ a\ln \left(x\right)+1& \text{si}& x>1\end{array}\right.$$
3. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\left(x+1\right)\log \left(x+1\right)& \text{si}& -1<x\le 0\\ a\left(1-e^{-\left(x+1\right)}\right)& \text{si}& x>0\end{array}\right.$$

Estudia la derivabilidad señalando el dominio de derivabilidad de las siguientes funciones:

1. $$f\left(x\right)=\sqrt{\left|x\right|}+1$$
2. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}2x+1& \text{si}& x<0\\ 2& \text{si}& x=0\\ 2x+3& \text{si}& x>0\end{array}\right.$$
3. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{e}^{x+1}-1& \text{si}& x\ge -1\\ \left(x+1\right)e^{{\left(-x+1\right)}^2}& \text{si}& x<-1\end{array}\right.$$
4. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccccc}\frac{x}{2-\left|x\right|}& \text{si}& x\ne -2& \text{y}& x\ne 2\\ 0& \text{si}& x=-2& \text{o}& x=2\end{array}\right.$$
5. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln \left(x-2\right)& \text{si}& x<3\\ 3x-9& \text{si}& x\ge 3\end{array}\right.$$
6. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}{e}^x-1& \text{si}& x\le 0\\ 0& \text{si}& 0<x<3\\ -x^2+3x+1& \text{si}& x\ge 3\end{array}\end{array}\right.$$

Determina la derivabilidad de la función:

$$f\left(x\right)=\sqrt{x^3+x^2}$$

Resuelve las siguientes derivadas utilizando la regla de la cadena y las propiedades que consideres oportuno:

1. $$f\left(x\right)={\left(x^2+4x\right)}^3·\ln \left(\frac{x+2}{x}\right)$$
2. $$f\left(x\right)=\ln \left(\sqrt{\frac{\cos \left(x\right)}{1-x}}\right)$$
3. $$f\left(x\right)={\log }_2\left(\sin \left(\cos \left(\mathrm{arc} \cos \left(x\right)\right)\right)\right)$$
4. $$f\left(x\right)=\frac{2x-3}{\sin \left(2x\right)}$$

Calcula en los siguientes apartados la ecuación de la recta tangente y de la normal a la función f(x) en los puntos indicados:

1. $f\left(x\right)=\sqrt{x+2}$ en x=2
2. $f\left(x\right)={\left(3-x\right)}^2$ en el punto de abscisas x=-2
3. $f\left(x\right)=\frac{x-2}{e^x}$ en el punto en el que se anula la segunda derivada
4. $f\left(x\right)=\ln \left(x-3\right)$ en x=3
5. $f\left(x\right)=\sqrt[5]{x-3}$ en x=3
6. $f\left(x\right)=\ln \left(\tan \left(4x\right)\right)$ en x=π/16

Determina, para la curva f(x) señalada en cada apartado:

1. El punto (o puntos) en que la recta tangente a $f\left(x\right)=\frac{1}{2x}$ tiene una pendiente de -1/8
2. El punto (o puntos) en que la recta tangente a $f\left(x\right)=3x^2+3x-2$  es paralela a la bisectriz del primer cuadrante
3. El punto (o puntos) en que la recta tangente a $f\left(x\right)=3x^2+3x-2$  es paralela a la recta 3x-3y+2=0
4. El punto (o puntos) en que la recta tangente a $f\left(x\right)=3x^2+3x-2$  forma un ángulo de 130º con el semieje x positivo
5. El punto (o puntos) en que la recta tangente a $f\left(x\right)=\frac{2}{x^2}+\frac{x}{2}$  es horizontal
6. El punto (o puntos) en que la recta tangente a $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$  es paralela a la recta que pasa por los puntos (1,1) y (e,2)
7. El punto (o puntos) en que la recta tangente a $f\left(x\right)=2\sin \left(x^2\right)$  tiene por pendiente $-4\sqrt{\mathrm{\pi }}$

Obten el valor de los parámetros de cada función a partir de las condiciones señaladas:

1. Siendo $f\left(x\right)=m{x}^2-4x+12$  y sabiendo que la pendiente de la recta tangente en x=1 tiene pendiente 8
2. Siendo $f\left(x\right)=x^2+bx+c$  y sabiendo:
   • que la función pasa por el punto (2,12)
   • que la pendiente de la recta tangente a f(x) en x=-1 es 1
3. Siendo $f\left(x\right)=a{x}^4+b{x}^2-1$  y sabiendo que la pendiente de la recta tangente en el punto (1/2, -3/2) es paralela al eje x

Determina la ecuación de las rectas tangentes a las curvas $f\left(x\right)=\frac{2x+2}{3-x}$ y $g\left(x\right)=2x^2-x-3$ en el punto de intersección de ambas funciones.

Determina la pendiente de la recta tangente a la curva $f\left(x\right)=\ln \left(6x-4\right)$ en x=3. Posteriormente calcula en qué punto la recta tangente a la curva es perpendicular a la anterior.

Determina el número de rectas tangentes a la función $f\left(x\right)=x^3-4x+1$ que contienen al punto (0,2).

Determina la derivada de las funciones trigonométricas inversas en el punto x=1/2 usando las propiedades de la derivada de la función inversa. Recuerda que las funciones trigonométricas inversas son el arccos(x), el arcsin(x) y la arctan(x).