Número de rectas tangentes que contienen un punto

Consideraciones previas

Debes tener muy claro que la ecuación de la recta tangente a una función en el punto x=a viene dada por:

Resolución

La resolución de este ejercicio es bastante sencilla cuando se tienen los conceptos muy claros. Si las rectas tangentes deben contener al punto (0,2), entonces cuando x=0 en la ecuación de dicha recta, el valor correspondiente de la y de la recta será 2. Dicho de otro modo, en la ecuación anterior se deberá cumplir que:

Observa que no conocemos el valor de a, que es la abscisa en la que la función f tiene por tangente la recta buscada. El número de soluciones de la ecuación anterior me dará el número de rectas que cumplen la condición impuesta:

Por lo que solo existe una recta tangente a la función que contenga al punto (0,2), y es la recta que toca a la función en el punto y tiene por ecuación:

Como ves, sencillo y elegante ;-)