Gravedad y masas en vértices de cuadrado

Datos

​La propia imagen contiene todos los datos necesarios para la resolución del problema.

Resolución

Podemos dibujar, sobre la imagen de la figura, las tres fuerzas que actúan sobre la masa m, cada una de ellas debida a la presencia de una masa. Además, situaremos el origen de coordenadas tal y como se indica en la figura, y pondremos de relevancia el hecho de que la diagonal del cuadrado, d, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos valen l.

A partir de la segunda ley de Newton, podemos escribir:

La fuerza total que actúa sobre la masa vendrá dada por la suma vectorial de cada fuerza que actúa por separado:

Comenzaremos calculando los módulos de cada fuerza, a partir de la expresión general del módulo de la ley de la gravedad para dos masas cualesquiera m y M,  

Para el caso de la segunda masa m₂, debemos determinar la distancia de separación en función del lado l. Esto es, la diagonal del cuadrado, d: 

A partir de aquí, podemos escribir:

Por otro lado, podemos dar la expresión vectorial de estas fuerzas a partir de sus módulos y del vector unitario que las define, que podemos determinar a partir de la figura anterior, quedando:

Finalmente, podemos escribir:

Finalmente, podemos considerar despejar la aceleración de la expresión de la segunda ley de Newton o principio fundamental, quedando:

A partir de la expresión anterior, resulta evidente que si m₁ = m₃, la aceleración sólo tendrá componente vertical y por tanto el cuerpo no se desplazará horizontalmente.