La ley de la gravitación universal establece la fuerza con la que se atraen dos cuerpos por el simple hecho de tener masa. Esta ley fue desarrollada por Sir Isaac Newton en el tercer libro de su obra Principios matemáticos de fillosofía natural, titulado Sobre el sistema del mundo. En este apartado estudiaremos:

¿Estás preparado?

Fuerza de la gravedad

La expresión de la ley de gravitación universal se plasma en la expresión de la fuerza gravitatoria o fuerza de la gravedad, ya estudiada en niveles anteriores (puedes pulsar sobre la pestaña Ver también en la parte superior de la página para ampliar información a este respecto). En esta sección vamos a recordarla y a profundizar en ella.

Dos cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional al cuadrado de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y está dirigida según la recta que une los cuerpos. Dicha fuerza se conoce como fuerza de la gravedad o fuerza gravitacional y se expresa de la forma:

Fg=-G·M·mr2·ur

donde:

  • Fg :Es el vector fuerza gravitatoria. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el newton (N)
  • G es la constante de gravitación universal, que no depende de los cuerpos que interaccionan y cuyo valor es G = 6,67·10-11 N·m2/kg2
  • M y m son las masas de los cuepos que interaccionan. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el kilogramo (kg)
  • r es la distancia que los separa. Es el módulo del vector r , que une la masa que genera la fuerza con la masa sobre la que actúa.
  • ur es un vector unitario que posee la misma dirección de actuación de la fuerza aunque de sentido contrario.

Por tanto, la interacción gravitatoria entre dos cuerpos siempre se manifiesta como una pareja de fuerzas iguales en dirección y módulo pero sentido contrario. El caracter atractivo de la fuerza se indica mediante el signo - de la expresión anterior. La siguiente imagen ilustra este concepto. 

Representación de las fuerzas gravitatorias experimentadas por dos masas separadas una distancia r

Fuerza Gravitacional

La segunda masa (m2) es la responsable de aparezca una fuerza de atracción sobre el primer cuerpo (m1) denominada F2,1. Este a su vez también es el responsable de que aparezca una fuerza de atracción denominada F1,2 sobre el cuerpo m1.  

Ambas fuerzas son de igual dirección aunque de sentido contrario. Vectorialmente podemos expresar esto diciendo que:

ur1,2=-ur2,1  F1,2 = -F2,1

 

Efectos sobre un conjunto de masas

Hemos estudiado cómo la gravedad actúa sobre una pareja de cuerpos como una pareja de fuerzas, pero ¿qué ocurre cuando, en lugar de dos masas, tenemos tres o más?

La fuerza gravitatoria resultante que actúa sobre una masa cualquiera de un conjunto de más de dos masas se calcula, según el principio de superposición, calculando la resultante de las fuerzas gravitatorias que las demás ejercen sobre ella. 

Así, si por ejemplo tenemos n masas, la fuerza gravitatoria que actuará sobre la primera de las masas se calculará según:

F1=F2,1+F3,1++Fn,1

La siguiente imagen ilustra el principio anterior.

El calculo de la fuerza gravitatoria que sufre una masa en presencia de otras se obtiene por medio del principio de superposición

Fuerza Gravitatoria Resultante

Las tres partículas de la figura interaccionan entre sí a través de la fuerza gravitatoria. Cada una de ellas experimenta un par de fuerzas, debido a las otras dos partículas, y a su vez genera una fuerza sobre cada una de ellas.

 

Experimenta y Aprende
 
Atracción gravitatoria en varias partículas

Introduce un número entre 0 y 150 en el cuadro de texto y pulsa sobre el botón ¡Crear!. Sobre el lienzo aparecerán tantas partículas como hayas indicado y la fuerza de la gravedad comenzará a producir sus efectos.

Primeramente, observa qué ocurre cuando el número de partículas es pequeño, por ejemplo dos. Las partículas aparecen en cualquier lugar, aleatoriamente, con una velocidad indeterminada. Al cabo de un tiempo comenzarán a moverse la una hacia la otra. Dado que la fuerza es mayor cuanto más próximas se encuentran, también lo es la aceleración, es decir, el cambio en la velocidad por unidad de tiempo.

Por otro lado, observa qué ocurre cuando hay un número de partículas elevado, por ejemplo ciento treinta. Observa que las partículas tienden a agruparse formando estructuras circulares. Esto se debe a que la gravedad varía en forma inversa al cuadrado de la distancia, y la superficie del círculo viene dada por 4·π·r2. Por otro lado, observa la tendencia que tienen los cuerpos a girar. ¿Te da esto alguna pista sobre la forma y el comportamiento de los planetas?

Finalmente, si pulsas sobre cualquier lugar de la escena, generaras una atracción de todas las partículas hacia ese punto que durará mientras mantengas pulsado el ratón ¿Qué ocurre cuando pulsas en el interior de una estructura formada por varias partículas?

Deducción

Probablemente habrás oído la leyenda según la cual Newton comenzó a preguntarse por la teoría de la gravedad cuando vio caer una manzana de un árbol en Woolsthorpe, Lincolnshire (Inglaterra) en 1666. Lo cierto es que la teoría que elaboró, y que publicó en 1687 en su obra Philosopiae Naturalis Principia Mathematica, permite relacionar fenómenos aparentemente tan distintos como la aceleración de los cuerpos que caen en la superficie de la Tierra (la manzana de la leyenda, por ejemplo) y las órbitas que tienen los planetas o los satélites (la Tierra alrededor del Sol, por ejemplo).

La expresión anterior de la fuerza gravitatoria no tiene demostración matemática alguna, sino que podemos llegar a ella usando algunos datos experimentales y algo de intuición: Newton llegó a ella basándose en una minuciosa observación de la realidad. Para deducirla vamos a partir de la órbita que describe la Tierra alrededor del Sol, con algunos matices, y deduciremos la dependencia con la distancia y con la masa de la fuerza. La siguiente imagen te ayudará a entender el desarrollo que presentamos a continuación:

Fuerzas gravitatorias que sufren la Tierra y el Sol suponiendo una órbita circular

Deducción de la ley de la gravedad

Para deducir la ley de la gravedad podemos considerar una órbita circular de la Tierra alrededor del Sol. Para que se produzca dicho movimiento circular será necesario una fuerza centrípeta que será precisamente la fuerza de la gravedad. Por otro lado, dado que las fuerzas actúan a pares por el prinicpio de acción y reacción, podemos considerar que Fc' como la fuerza de reacción a Fc.

 

Modelo de trayectoria

Consideramos que la Tierra y el Sol son partículas puntuales. Podemos hacerlo por que las distancias consideradas son mucho mayores que los tamaños de los astros. Así mismo, sabemos que las órbitas de los planetas son elípticas, pero podemos suponer, para simplificar, que la Tierra tiene una trayectoria circular alrededor del Sól. Al fin y al cabo, una circunferencia no es más que un caso particular de una elipse en el que su excentricidad es cero y la excentricidad de la Tierra es, de hecho, próxima a 0. Finalmente, podemos suponer que la única fuerza significativa que actúa sobre la Tierra es la gravitatoria ejercida por el sol.

La fuerza gravitatoria depende de la distancia

Sabemos que la aceleración centrípeta es la responsable del movimiento circular de la Tierra alrededor del Sol. Dicha aceleración se genera gracias a la fuerza centrípeta, que en este caso, es precisamente la fuerza gravitatoria. Por tanto, teniendo esto en cuenta y a partir del principio fundamental, podemos escribir:

Fg=Fc=mT·ac

Conociendo la expresión de la aceleración centrípeta, podemos escribir:

ac=v2r=1ω·r2r=22·πT·r2r=4·π2T2·r1 v=ω·r2 ω=2·πT

A partir de las observaciones de Kepler y su tercera ley T2=k·r3 , y sustituyendo la aceleración centrípeta en la expresión de la fuerza correspondiente anterior, podemos escribir:

Fg=Fc=mT·4·π2T2·r=mT·4·π2k·r3·r=mT·4·π2kcte=k'·1r2=mT·k'r2

O, dicho de otro modo, la fuerza gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

La fuerza gravitatoria depende de la masa

La deducción de Newton, en este caso, se basa en los siguientes puntos:

  • Sabemos que la fuerza gravitatoria del Sol sobre la Tierra es proporcional a la masa de la Tierra (como hemos visto en la expresión Fg=Fc=mT·k'r2  )
  • Por el principio de acción y reacción, si el Sol ejerce una fuerza de atracción sobre la Tierra, esta última debe ejercer una fuerza sobre el Sol de igual módulo Fc=Fc'  ( y dirección pero sentido contrario )
  • Cómo buscamos una expresión universal que represente ambas fuerzas (la de acción y la de reacción), esta debe incluir la masa de ambos astros. Dicho de otro modo, como FcmTFc'mSFgmT·mS 

Con todo ello, la constante k' anterior, debe ser, a su vez, proporcional a la masa del planeta Sol, quedando finalmente:

Fg=Fc=mT·k'r2=1mT·G·mSr2=G·mS·mTr21 k'=G·mS

La expresión anterior determina la fuerza con la que se atraen dos masas cualesquiera por el simple hecho de tener materia. La constante G es una constante de proporcionalidad independiente, esta vez, de ambas masas. 

Obtención del valor de la constante universal G

Aunque resulta inmediato despejar la constante G de la expresión dada para la fuerza gravitatoria, lo cierto es que en tiempos de Newton existían serias dificultades para ello. Por un lado, si considerásemos dos masas cualesquiera, los efectos de su atracción (necesarios para conocer Fg y despejar G) quedaban enmascarados por la acción de la Tierra. Por otro lado, si considerásemos una masa cualquiera y la masa de la Tierra, podríamos conocer Fg a partir de la aceleración de la gravedad en la Tierra ( facilmente medible ). El problema aquí es que, en aquella época, no se conocía la masa de la Tierra.

La primera medición precisa del valor de G fue obtenida en 1798 por H. Cavendish (1731 - 1810 ) con una balanza de torsión como la que se muestra en la figura.

Dibujo de una balanza de torsión

Balanza de Torsión

La masas grandes, fijas, atraen a las masas pequeñas, móviles, provocando un giro en la varilla que las soporta y una torsión del hilo del que esta cuelga. Gracias a un haz de luz y a un espejo colocado en dicho hilo se puede medir el ángulo de giro. A partir de él, y conocida la constante de torsión del hilo, se puede determinar el momento de fuerza que actúa y, a partir de él, la constante G.

 

El valor obtenido por Cavendish fue de G=6.6±0.041·10-11N·m2kg2 , cercano al valor que hoy le damos: G=6.67·10-11N·m2kg2 .

Significado físico de la constante de Kepler

La tercera ley de Kepler establece la relación entre el periodo de un planeta alrededor del Sol y su radio medio a través de la constante k según la expresión T2=k·r3 . Kepler supuso que la razón del movimiento plantario residía en el Sol. A partir de la expresión de la fuerza gravitacional, podemos comprobar que no le faltaba razón.

Según hemos hablado, la fuerza gravitacional es centrípeta, al ser la responsable de que el planeta, de masa mP gire en torno al Sol, de masa mS. Por tanto, podemos escribir:

Fg=mP·acG·mS·mPr2=mP·v2r1G·mS·mPr2=mP·ω2·r1 v=ω·r 

Como sabemos que ω=2·πT , podemos despejar de la siguiente forma:

G·mS·mPr2=mP·4·πT22·rT2=4·π2G·mS·r3 

La expresión anterior es, precisamente, la tercera ley de Kepler, considerando:

k=4·π2G·mS

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Masa de Jupiter

dificultad
Sabiendo que el satélite Europa del planeta Júpiter tiene un periodo de revolución de 3.551181 días y una distancia media al planeta de 671100 km, determina la masa del planeta Júpiter.

Aceleración gravitatoria en la superficie de la luna

dificultad
Determina la aceleración en la superficie de la Luna sabiendo que su radio es 0.27 veces el radio de la Tierra y que la masa de esta es 81.23 veces la de la Luna. Ten presente que la aceleración para los cuerpos en la superficie de la Tierra, fruto de la gravedad, es de 9.8 m/s2

Gravedad y masas en vértices de cuadrado

dificultad

En los vértices de un cuadrado de lado l, como el de la figura, se sitúan 4 masas. Determina la aceleración de la masa m sujeta a la acción de las otras tres. ¿Qué valores deben tener las masas para que la masa m estudiada se desplace sólo en sentido vertical?

cuatro masas situadas en los vértices de un cuadrado de lado l

Estabilidad dinámica de un satélite en órbita

dificultad

Determina el periodo y la velocidad orbital de un satélite que orbita circularmente a 300 km de altura sobre la Tierra. ¿Cumple este valor la tercera ley de Kepler?

Datos: Radio de la Tierra 6370 km; Masa de la Tierra: 5.97·1024 kg

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Ley de Gravitación Universal. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Fuerza gravitacional

Fg=-G·M·mr2·ur

Efectos fuerza gravitatoria en conjunto de más de dos masas

F1=F2,1+F3,1+  + Fn,1

Ficha de apartados relacionados

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