Enunciado
En el burguer de Toni quieren lanzar una nueva hamburguesa de queso y huevo. En las primeras dos semanas de lanzamiento de su deliciosa hamburguesa, Toni ha comprobado que ha vendido, de media, 350 unidades diarias, a un precio de 4.5€. Además, ha podido comprobar que por cada 0.10€ que aumenta el precio de venta, disminuye en dos el número de unidades vendidas. Sabiendo que el coste por hamburguesa para Toni es de 2€, ¿cuál debería ser el precio de venta para obtener el máximo beneficio?
Solución
Consideraciones previas
Se trata de un problema de optimización de funciones en el que seguiremos los pasos indicados en la teoría enlazada. ¿Ayudamos a Toni?
Resolución
En primer lugar, se trata de definir las variables y la función a maximizar. Como nos dice el enunciado, la función a maximizar es el beneficio. Si lo piensas un poco, este va a depender de manera directa del número de unidades vendidas (que podemos llamar n), pero también del precio de las mismas (que podemos llamar p). Así pues:
Observa que no hemos puesto n·p, sino n·(p-2) ya que al precio de venta hay que restar los 2€ que cuesta a Toni elaborar su hamburguesa (costo del huevo, del aceite, del pan, etc).
Por otro lado, debemos relacionar las variables n y p a fin de poder dejar la función B como una fución de una sola variable. Si lo piensas, el número de unidades vendidas n será de 350, menos dos unidades por cada diez céntimos adicionales, es decir:
Por tanto:
En relación al intervalo considerado, sabemos que p debe ser al menos mayor al costo de fabricación 2€. De hecho, dado que solo tenemos información sobre lo que ocurre con las ventas cuando el precio pasa de 4.5€, consideraremos el intervalo p>4.5€. Ahora buscamos el máximo absoluto de la función a partir de la primera derivada.
¿Se trata de un máximo o un mínimo? Tenemos tres formas de averiguarlo:
- La función original es una parábola con las ramas hacia abajo, con lo que el valor p=7.5 que anula la primera derivada será necesariamente un máximo (absoluto)
- Podríamos elaborar un cuadro de signos para ver el signo de la primera derivada a la izquierda y a la derecha de p=7.5. A partir de él, veríamos que la primera derivada tiene signo positivo a la izquierda de p=7.5 y negativo a la derecha, con lo que la función original es creciente a la izquierda de 7.5 y decreciente a la derecha, con lo que en p=7.5 existe un máximo (absoluto por tratarse de una parábola)
- Según el criterio de la segunda derivada para determinar máximos o mínimos, como B''(x)=-20<0, entonces p=7.5 es un máximo
En resumen, el máximo beneficio se produce cuando Toni vende su hamburguesa especial a 7.5 euros, lo que debería hacerle vender n=290 hamburguesas, obteniendo un beneficio de B(7.5)=605 euros