Enunciado
Calcula el dominio de las siguientes funciones.
- La fuerza con la que se atraen dos cargas en función de la distancia que las separa
Solución
Consideraciones previas
Recurda las principales restricciones al dominio. Las funcions no están definidas:
- En los puntos que anulan denominadores
- En los puntos que hacen negativo el radicando de las raíces de índice par
- En los puntos que hacen negativo o cero el argumento de un logaritmo
Por otro lado, los cuadros o tablas de signos son muy útiles para resolver inecuaciones siempre qué la función se pueda descomponer en productos o cocientes de productos. Éstos nos muestran el signo de la función según los distintos intervalos de x.
Resolución
Tenemos dos restricciones: la impuesta por la raíz cuadrada, y la impuesta por el denominador. Así:
De nuevo tenemos dos restricciones: la impuesta por la raíz cuadrada y la impuesta por el denominador. Sin embargo, esta vez se pueden reducir a una sola. Observa:
Ya hemos visto en ejercicios anteriores que para resolver este tipo de inecuación podemos factorizar, buscar las raíces para separar los distintos intervalos de signos, y recurrir a una tabla:
(-∞,0) | (0,4) | (4,∞) | |
x | - | + | + |
(x-4) | - | - | + |
x·(x-4) | + | - | + |
Quedándonos con los intervalos positivos de la función, marcados en la última fila:
...donde los extremos del intervalo 0 y 4 son abiertos debido al signo > de la inecuación.
La raíz cúbica no nos impone ninguna restricción adicional al dominio, con lo que en este caso también tenemos la restricción impuesta por la raíz cuadrada y la restricción impuesta por el denominador, esto es:
A pesar de lo "aparatoso" de la función, solo la raíz cuadrada y el logaritmo neperiano imponen restricciones a su dominio:
Para resolver la segunda inecuación factorizamos y recurrimos a la tabla de signos:
(-∞,-1) | (-1,1) | (1,∞) | |
(x+1) | - | + | + |
(x-1) | - | - | + |
(x+1)·(x-1) | + | - | + |
Quedándonos con la parte positiva, nos queda que la solución a la inecuación x2-1≥0 es (-∞,-1)∪(1,∞).
Por tanto nuestro dominio debe cumplir simultáneamente que:
Las restricciones, debidas a la raíz y del denominador, quedan:
La raíz treceava, como cualquier raíz de índice impar, no impone ninguna restricción al dominio. Con lo que la única a considerar es que el denominador debe ser distinto de cero:
Las restricciones:
Para resolver la inecuación recurrimos a una tabla de signos, sabiendo que las raíces, son 2 y -1:
(-∞,-1) | (-1,2) | (2,∞) | |
(x+1) | - | + | + |
(2-x) | + | + | - |
(2-x)/(x+1) | - | + | - |
La solución a la segunda condición es x∈[-1,2] y el dominio de la función:
En este caso, de nuevo, la restricción de la raíz y del denominador:
No existe solución para la segunda de las condiciones:
Dicho de otra manera, como cualquier valor de x que pertenezca a los números reales es distinto de , cualquier valor de x cumple qué , y por tanto no tenemos que hacer restricciones adicionales.
Por otro lado, para resolver la inecuación de la segunda condición, tendríamos que factorizar para buscar los distintos intervalos de signos, y utilizar la tabla. Sin embargo, ya sabemos que el denominador no se puede factorizar. Esto quiere decir que el signo de x2+1 no cambia. Tampoco cambia el signo del numerador,aunque tenga como raíz x=0. Utilicemos nuestra tabla de signos, para saber si el signo del cociente es positivo o negativo:
(-∞,∞) | |
(x2) | + |
(x2+1) | + |
x2/(x2+1) | + |
Por tanto el dominio de la función queda en este caso:
A pesar de que esta función solo difiere en un signo de la anterior, la factorización del denominador ahora si es posible:
Para resolver la inecuación de la primera condición, factorizamos y tabla de signos:
(-∞,-1) | (-1,1) | (1,∞) | |
(x2) | + | + | + |
(x+1) | - | + | + |
(x-1) | - | - | + |
x2/(x+1)·(x-1) | + | - | + |
Con lo que la solución a la inecuación es x∈(-∞,-1]∪[1,∞). Finalmente, el conjunto de valores del dominio debe satisfacer las dos condiciones, con lo que:
En este caso los dos radicandos deben ser mayores o iguales que cero:
Como hasta ahora, cumplir ambas condiciones a la vez significa la intersección de ambos conjuntos:
Se trata de un caso un tanto especial. Por definición, la base de logaritmo debe ser positiva y además distinta de 1. por otro lado, el argumento debe ser mayor que cero. De esta manera:
Para estudiar el dominio resulta más conveniente pasar el valor absoluto a una función definida a trozos:
No hay ninguna restricción, con lo que:
Procedemos de manera similar al caso anterior:
Llegados a este punto podemos caer en la tentación de simplificar los cocientes de cada rama. Sería un error hacerlo antes de aplicar las restricciones al dominio que correspondan, a la vista de las ramas:
Como la segunda rama se simplificaría a , que no tiene sentido en el caso de funciones reales, podemos escribir:
Matemáticamente la única restricción es que el denominador debe ser distinto de cero. Sin embargo, dado que estamos ante un problema físico, la distancia para la separación r entre las dos cargas nunca va a ser negativa. Por tanto el dominio de la función: