Ejercicios Resueltos de Funciones Elementales

A partir de los diagramas de la figura, determina la regla de correspondencia o transformación, el dominio, el codominio y la imagen en cada caso.

En las siguientes gráficas, determina si las relaciones entre variables podrían corresponder a lo que se conoce matemáticamente como función:

Por otro lado, haz lo mismo con las siguientes tablas:

Tabla 1

Tabla 2

La siguiente tabla contiene pares ordenados de números naturales que han sido tomados evaluando una función de ℕ en ℕ. Define dicha función matemática y calcula f(21).

Realiza un esbozo aproximado de las siguientes funciones:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=3-\frac{x}{5} ; g\left(x\right)=x^2+x ;\hspace{0.17em}h\left(x\right)=\frac{1}{x} ; \\ i\left(x\right)=\sqrt{x+2} ;\hspace{0.17em}j\left(x\right)=2^x+1 \end{gathered}$$

Calcula la imagen de los siguientes valores de x a la luz de la siguiente gráfica: x₁=-25, x₂=-20, x₃=-15, x₄=-10, x₅=-5, x₆=0, x₇=5, x₈=10, x₉=15, x₁₀=20.

Modela las siguientes situaciones mediante funciones:

1. La población de una pequeña ciudad aumenta un 15% cada año. Consideramos instante inicial el año 1983 en el que la población era de 500 habitantes. ¿Cuál será la población en el año 2050, de continuar la misma tendencia?
2. La temperatura media en una comarca depende de la altura, de manera que se ha observado que se reduce 1.3 ºC por cada 160 m de ascenso . Sabiendo que el punto más bajo de la comarca está al nivel del mar, y que la temperatura media allí es de 22º, ¿qué altura habrá en su lugar más alto, a 950 m?
3. El coste de una llamada al extranjero tiene un precio de conexión de 0.55 €. Durante el primer minuto el contador se mantiene estático, pero una vez transcurrido este, el coste de la llamada aumenta a razón de 0.50 € cada minuto. ¿Cuál será el coste de una llamada de 20 minutos?
4. Determina una función para el cálculo del radio de cilindros tomando la altura como variable independiente y sabiendo que el volumen del mismo es siempre de 314 cm³.
5. Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. Halla el área del triángulo en función de su base.

Determina el dominio de las funciones representadas en las siguientes gráficas:

Calcula el dominio de las siguientes funciones racionales.

1. $$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{x+3}{x-9}$$
3. $$f\left(x\right)=\frac{x+3}{x^2-9}$$
4. $$f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+2x-3}$$
5. $$f\left(x\right)=\frac{x-1}{x^2+2x-3}$$
6. $$f\left(x\right)=\frac{2x+3}{{\left(x^2-1\right)}^2}$$
7. $$f\left(x\right)=\frac{x-2}{x^3+2x^2-3x}$$
8. $$f\left(x\right)=\frac{1}{x^3+4x^2+x-6}$$

Calcula el dominio de las siguientes funciones con raíces.

1. $$f\left(x\right)=\sqrt{x+1}$$
2. $$f\left(x\right)=\sqrt{1-x}$$
3. $$f\left(x\right)=\sqrt{3x-2}$$
4. $$f\left(x\right)=\sqrt{-3x^2+5x-2}$$
5. $$f\left(x\right)=\sqrt{3x^2-5x+2}$$
6. $$f\left(x\right)=\sqrt{x^2-9}$$
7. $$f\left(x\right)=\sqrt{x^2+3x}$$
8. $$f\left(x\right)=\sqrt[128]{2x^3+14x^2+8x-24}$$
9. $$f\left(x\right)=\sqrt[3]{-3x^2+5x-2}$$

Calcula el dominio de las siguientes funciones con logaritmos.

1. $$f\left(x\right)=\ln \left(x+1\right)$$
2. $$f\left(x\right)=\log \left(1-x\right)$$
3. $$f\left(x\right)={\log }_2\left(3x-2\right)$$
4. $$f\left(x\right)={\log }_5\left(-3x^2+5x-2\right)$$
5. $$f\left(x\right)={\log }_{\mathrm{\pi }}\left(3x^2-5x+2\right)$$
6. $$f\left(x\right)={\log }_e\left(x^2-9\right)$$
7. $$f\left(x\right)=\log \left(x^2+3x\right)$$
8. $$f\left(x\right)={\log }_{128}\left(2x^3+14x^2+8x-24\right)$$

Calcula el dominio de las siguientes funciones definidas por partes:

1. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}2x^2+3& \text{si}& x<1\\ \frac{1}{x-3}& \text{si}& x>1\end{array}\right.$$
2. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x+2}{2-x}& \text{si}& x<2\\ 1& \text{si}& x=3\\ \sqrt{x-10}& \text{si}& x>4\end{array}\right.$$

Calcula el dominio de las siguientes funciones trigonométricas.

1. $$f\left(x\right)=\sin \left(3x^2+2\right)$$
2. $$f\left(x\right)=\cos \left(3x^2+2\right)$$
3. $$f\left(x\right)=\tan \left(x+1\right)$$
4. $$f\left(x\right)=\csc \left(3x^2+2\right)$$
5. $$f\left(x\right)=\sec \left(3x^2+2\right)$$
6. $$f\left(x\right)=\cot \left(3x^2+2\right)$$

Calcula el dominio de las siguientes funciones.

1. $$f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x-3}}{x-2}$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4x}}$$
3. $$f\left(x\right)=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-9}}$$
4. $$f\left(x\right)=3^{x+2}+\sqrt{x}+\cos \left(x\right)+\ln \left(x^2-1\right)-5$$
5. $$f\left(x\right)=\frac{12x-2}{\sqrt{x}+1}$$
6. $$f\left(x\right)=\frac{x^3+7}{\sqrt[13]{6x+12}}$$
7. $$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2-x}{x+1}}$$
8. $$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}}$$
9. $$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}$$
10. $$f\left(x\right)=\sqrt{9-x}+\sqrt{9+x}$$
11. $$f\left(x\right)={\log }_{x+2}\left(5x\right)$$
12. $$f\left(x\right)=\left|x-2\right|$$
13. $$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{\left|x\right|}{x}}$$
14. La fuerza con la que se atraen dos cargas en función de la distancia que las separa

Determina el conjunto imagen de las funciones representadas en las siguientes gráficas:

Calcula el conjunto imagen en las siguientes funciones:

1. $$f\left(x\right)=-2$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{2x}{3}-1$$
3. $$f\left(x\right)=-x^2+3x-1$$
4. $$f\left(x\right)=\left|-x^2+3x-1\right|$$
5. $$f\left(x\right)=\sqrt[13]{x}$$
6. $$f\left(x\right)=3·\sin \left(x^2+2\right)$$
7. $$f\left(x\right)=3·\sec \left(x^2+2\right)$$

Suponiendo que todas las funciones siguientes tienen función inversa, calcula, a partir de ella, el recorrido de las mismas:

1. $$f\left(x\right)=\frac{3x+2}{x}$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{3}{x^2-9}$$
3. $$f\left(x\right)=2^{\frac{1}{1-x}}$$

Estudia los intervalos de signo constante en las siguientes funciones:

1. $$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+3$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{x+2}{x-2}$$
3. $$f\left(x\right)=\frac{x^2}{x+4}$$
4. $$f\left(x\right)=x-\frac{9}{x}$$

Estudia las funciones representadas en las siguientes gráficas, calculando su dominio, recorrido, monotonía, curvatura, acotación, simetría y periodicidad.

Salvo en el último caso, en el resto puedes asumir que cada cuadro de la cuadrícula tiene una longitud de 1 unidad x 1 unidad.

Determina el tipo de partidad, par o impar, que presentan las siguientes funciones:

1. $f\left(x\right)=x$
2. $f\left(x\right)=x^2+2x+1$
3. $f\left(x\right)=\frac{3x}{x^2+2}$
4. $f\left(x\right)=\frac{3x^4}{x^2-2}$
5. $f\left(x\right)=e^{x^3}$

Representa y analiza las siguientes funciones:

1. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3& \text{si}& x<0\\ 3-x& \text{si}& 0\le x<6\\ -3& \text{si}& x>6\end{array}\right.$$
2. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2-2x+2& \text{si}& x<1\\ -x^2+2& \text{si}& x\ge 1\end{array}\right.$$
3. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}1/x& \text{si}& x<0\\ 0& \text{si}& x=0\\ 1/x& \text{si}& x>0\end{array}\right.$$
4. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x+4& \text{si}& -3\le x\le -1\\ x-4& \text{si}& 1\le x\le 3\end{array}\right.$$

Determina la expresión analítica de las siguientes funciones:

Encuentra las funciones reales que sirven para describir las siguientes situaciones:

1. La dosis de un determinado medicamente debe comenzar con 6mg el primer día y aumentar 2mg cada día, hasta cumplir la primera semana. A partir de ahí, la dosis se mantiene constante durante otra semana. Finalmente se debe disminuir de manera progresiva hasta desaparecer totalmente en 10 días
2. Un móvil parte del reposo y aumenta su velocidad con una aceleración constante de 3m/s² (es decir, aumenta 3m/s la velocidad cada segundo) hasta llegar a los 18m/s. Ahí permanece 10 segundos y después aplica un frenado que reduce su velocidad a razón 6m/s²
3. El precio por aparcar en un determinado parking es de 0.15$/min las dos primeras horas. Luego se reduce a 0.10$/min durante las 3 horas siguientes. Finalmente, el precio se reduce hasta 0.05$/min a partirdel a quinta hora, hasta un máximo de 50$/min por día

Determina, así mismo, el dominio y el recorrido de todas ellas.

Convierte, si es posible, las siguientes funciones definidas por ramas a su forma correspondiente en valor absoluto:

1. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}2-x& \text{si}& x<2\\ x-2& \text{si}& x\ge 2\end{array}\right.$$
2. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x^2}{3}+3x+6& \text{si}& x<-6\\ -\frac{x^2}{3}-3x-6& \text{si}& -6\le x\le -3\\ \frac{x^2}{3}+3x+6& \text{si}& x>-3\end{array}\right.$$
3. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-\ln \left(x\right)& \text{si}& 0<x\le 1\\ \ln \left(x\right)& \text{si}& x>1\end{array}\right.$$
4. $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x-2& \text{si}& x<2\\ 2-x& \text{si}& x\ge 2\end{array}\right.$$

Representa gráficamente las siguientes funciones y obtén su expresión analítica en forma de función a trozos:

1. $$f\left(x\right)=\left|\frac{3x}{2}-1\right|$$
2. $$f\left(x\right)=\left|x^2+2x-2\right|$$
3. $$f\left(x\right)=\left|-x^2-2x+2\right|$$
4. $$f\left(x\right)=\left|e^x-1\right|$$
5. $$f\left(x\right)=\left|\ln \left(x\right)\right|$$

Determina el dominio de las siguientes funciones:

1. $$f\left(x\right)=\left|3x+1\right|$$
2. $$f\left(x\right)=\left|3x+1\right|+\sqrt{x}$$
3. $$f\left(x\right)=\sqrt{\left|x+1\right|}$$
4. $$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{\left|x+1\right|}{x+1}}$$

Define las siguientes funciones en forma de funciones a trozos:

1. $$f\left(x\right)=\left|\frac{2x+1}{2}\right|$$
2. $$f\left(x\right)=\left|\frac{2x+1}{2}\right|+3$$
3. $$f\left(x\right)=\left|-2x^2+4x+6\right|$$
4. $$f\left(x\right)=\left|\sqrt{x-2}-1\right|$$

Sabiendo que f(x) pasa por el punto (2,5), di un punto de:

• $$y=f\left(x\right)-2$$
• $$y=f\left(x-1\right)$$
• $$y=\frac{1}{5}f\left(x\right)$$
• $$y=3f\left(x\right)$$
• $$y=-f\left(x\right)$$
• $$y=f\left(-x\right)$$
• $$y=-3f\left(-x\right)+2$$

Determina el valor de a y b en los siguientes casos:

Siendo la función en 1 $f_1\left(x\right)=\frac{1}{x-a}+b$ , y la función en 2 $f_2\left(x\right)={\left(x+a\right)}^2+b$

1.- Dibuja la gráfica de f(x)=x². A partir de ella dibuja: a) $g\left(x\right)=f\left(x\right)+1$ ; b) $g\left(x\right)=f\left(x+2\right)+1$ ; c) $g\left(x\right)=f\left(\frac{x}{2}\right)$ ; d) $g\left(x\right)=f\left(\frac{x-2}{2}\right)$

2.- Dibuja la gráfica de f(x)=1/x. A partir de ella dibuja:​ a)$f\left(x\right)=\frac{1}{x}+2$ ; b) $f\left(x\right)=\frac{1}{x-3}+2$ ; c)$f\left(x\right)=\frac{1}{2x}$ ; d) $f\left(x\right)=\frac{1}{-x+2}$

3.- Representa $f\left(x\right)=-3\sqrt{-x-2}$

4.- A partir de la gráfica de la función f(x) de la ilustración:

Representa: a) g(x)=-f(-x) ; b) g(x)=3-f(-x) ; c) g(x)=3-f(-2x) ; d) g(x)=3-2·f(-2x-2)

Representa las siguientes funciones mediante las transformaciones de las funciones tipo asociadas:

1. $$f\left(x\right)=\sqrt{1-x}$$ 
2. $$f\left(x\right)={\left(2x-3\right)}^2+1$$
3. $$f\left(x\right)=3·e^{-\frac{x}{2}}$$
4. $$f\left(x\right)=-\ln \left(\frac{x}{3}+1\right)+2$$
5. $$f\left(x\right)=\cos \left(\frac{x+2}{2}\right)$$

Realiza las siguientes operaciones, calcula el dominio de la función resultante y determina el elemento simétrico de cada función para la operación suma:

1. $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{1}{x}\\ g\left(x\right)=\frac{x+2}{x-1}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}f\left(x\right)+g\left(x\right)\\ f\left(x\right)-g\left(x\right)\end{array}$$
2. $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\sqrt{x+2}\\ g\left(x\right)=\sqrt{2-x}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}f\left(x\right)+g\left(x\right)\\ g\left(x\right)-f\left(x\right)\end{array}$$
3. $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2x}{3}+1}\\ g\left(x\right)=\ln \left(-x-2\right)\end{array}\Rightarrow g\left(x\right)+f\left(x\right)$$
4. $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{x-1}{x}\\ g\left(x\right)=\frac{-x+1}{x}\end{array}\Rightarrow f\left(x\right)+g\left(x\right)$$

Realiza el producto de las siguientes funciones y determina el recíproco multiplicativo de cada una de ellas.

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}\\ g\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x^2+4}\end{array}\Rightarrow ¿\hspace{0.17em}f\left(x\right)·g\left(x\right) ?$$

Divide las siguientes funciones:

1. $$f\left(x\right)=\sqrt{10-x} ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{1}{x-2}$$
2. $$f\left(x\right)=10-x ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=x-2$$

Realiza las siguientes composiciones de funciones:

• $$f\left(x\right)=x^2+5x-3 ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=x^2 \Rightarrow f\left[g\left(x\right)\right] , g\left[f\left(x\right)\right], g\left[f\left(1\right)\right]$$
• $$f\left(x\right)=\cos \left(x\right) ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=x^2 \Rightarrow \left(f\circ g\right)\left(x\right) , \left(g\circ f\right)\left(x\right) , \left(g\circ g\right)\left(x\right)$$
• $$f\left(x\right)=3x ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{x}{3} \Rightarrow f\circ g , g\circ f , g\circ g \text{en} x=2$$
• $$\begin{gathered} \boxed{f\left(x\right)=\ln \left(x+2\right) ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow \\ \text{"f compusta con g" y "g compuesta con f"}} \end{gathered}$$

A partir de la siguiente tabla, calcula los valores pedidos:

1. $$\left(f\circ g\right)\left(2\right)$$
2. $$\left(g\circ f\right)\left(2\right)$$
3. $$\left(f\circ f\right)\left(1\right)$$
4. $$\left(f\circ g\circ f\right)\left(3\right)$$

Repite luego el proceso pero considerando los datos de la siguiente imagen, en lugar de los de la tabla:

Encuentra las siguientes expresiones a través de la composición de dos funciones distintas:

1. $$h\left(x\right)=\frac{3}{\sqrt{x+2}}$$
2. $$h\left(x\right)=3x^4+x^2+1$$

Busca la función pedida en cada caso:

1. $$f\circ g=x+3 ;\hspace{0.17em}f\left(x\right)=2^x ;\hspace{0.17em}¿g\left(x\right)?$$
2. $$f\circ g=x+\ln \left(\frac{13}{x}\right)+11 ;\hspace{0.17em}f\left(x\right)={\left(x+2\right)}^2 ;\hspace{0.17em}¿g\left(x\right)?$$

Calcula las siguientes funciones compuestas y su dominio:

• $$f\left(x\right)=x+3 ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=x^2-2x-1 ;\hspace{0.17em}f\circ g$$
• $$f\left(x\right)=\sqrt{x-1}\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\left(x\right)=3x+1\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}f\circ g \text{y} g\circ f$$
• $$f\left(x\right)=\frac{x}{x+2}\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}f\circ g$$
• $$f\left(x\right)=\sqrt{x-3}\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{x}{x+2}\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}f\circ g$$
• $$f\left(x\right)=-3x^2-2\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\sqrt{x+1}x\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\circ f$$

¿Encuentras algo de especial en este último caso?

Determina la función inversa de las siguientes funciones:

1. $$f\left(x\right)=-3x+1$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{2}{3-3x}$$
3. $$f\left(x\right)=\sqrt[3]{2x+1}$$
4. $$f\left(x\right)=\frac{2+x}{2-x}$$
5. $$f\left(x\right)=\ln \left(x-1\right)$$

Comprueba si las siguientes parejas de funciones son inversas:

1. $$f\left(x\right)=1-\frac{4}{x} ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{4}{1-x}$$
2. $$f\left(x\right)=x+1 ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=-x-1$$
3. $$f\left(x\right)=3x ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{x}{3}$$

En el caso de que sean inversas, comprueba que si el punto (a,b) pertenece a la primera función, entonces el punto (b,a) pertenece a su inversa.

Determina la gráfica de la función inversa en los siguientes casos:

¿Es posible determinar la inversa de la función $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2-1$? Comprueba que, para hacerlo, tienes que descomponerla en dos ramas, y posteriormente, calcula la inversa.