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  • Matemáticas básicas

Ficha de contenidos

Desde el comienzo de los tiempos, el hombre ha buscado relaciones entre las magnitdes observables: El tiempo que tardaba en caer una manzana del arbol según su altura, la velocidad que adquirían las carretas según la fuerza con la que se empujaban, el volumen de un cilindro según su base y su altura, y un largo etcétera.

De igual manera que el álgebra introdujo un nuevo simbolismo que usaba letras para pasar del estudio de números concretos al estudio de las relaciones entre números cualesquiera, el análisis permitió pasar de estudiar fórmulas concretas a fórmulas generales. En este tema presentaremos el componente principal del análisis matemático: las funciones elementales.

Para abordar con soltura los contenidos expuestos deberías estar familiarizado con las operaciones matemáticas básicas, resolución de ecuaciones, además de saber operar con conjuntos.

Ficha de ejercicios resueltos

Pon a prueba lo que has aprendido en el tema Funciones Elementales con esta lista de ejercicios con sus respectivas soluciones y clasificados por apartados.

Función Matemática

Regla de transformación en función

dificultad

A partir de los diagramas de la figura, determina la regla de correspondencia o transformación, el dominio, el codominio y la imagen en cada caso.

descubrir la regla de transformación entre grupos

¿Es función?

dificultad

En las siguientes gráficas, determina si las relaciones entre variables podrían corresponder a lo que se conoce matemáticamente como función:

4 relaciones entre conjuntos para determinar si son funciones

Por otro lado, haz lo mismo con las siguientes tablas:

Tabla 1

x 1 2 2 3 4
y 3 6 12 9 12

Tabla 2

x 0 0 1 2 0 2
y 0 1 0 0 2 1
z 0 1 1 2 2 3

Definición de función a partir de tabla

dificultad

La siguiente tabla contiene pares ordenados de números naturales que han sido tomados evaluando una función de  en . Define dicha función matemática y calcula f(21).

n 1 2 3 4 5 6 7
f(n) 4 7 10 13 16 19 22

Funciones Reales de Variable Real

Representación gráfica con tablas de pares ordenados

dificultad

Realiza un esbozo aproximado de las siguientes funciones:

fx=3-x5 ; gx=x2+x ;hx=1x ; ix=x+2 ;jx=2x+1

Imágenes a partir de gráfica de función

dificultad

Calcula la imagen de los siguientes valores de x a la luz de la siguiente gráfica: x1=-25, x2=-20, x3=-15, x4=-10, x5=-5, x6=0, x7=5, x8=10, x9=15, x10=20.

gráfica de función a trozos

Modelar situaciones reales con funciones

dificultad

Modela las siguientes situaciones mediante funciones:

  1. La población de una pequeña ciudad aumenta un 15% cada año. Consideramos instante inicial el año 1983 en el que la población era de 500 habitantes. ¿Cuál será la población en el año 2050, de continuar la misma tendencia?
  2. La temperatura media en una comarca depende de la altura, de manera que se ha observado que se reduce 1.3 ºC por cada 160 m de ascenso . Sabiendo que el punto más bajo de la comarca está al nivel del mar, y que la temperatura media allí es de 22º, ¿qué altura habrá en su lugar más alto, a 950 m?
  3. El coste de una llamada al extranjero tiene un precio de conexión de 0.55 €. Durante el primer minuto el contador se mantiene estático, pero una vez transcurrido este, el coste de la llamada aumenta a razón de 0.50 € cada minuto. ¿Cuál será el coste de una llamada de 20 minutos?
  4. Determina una función para el cálculo del radio de cilindros tomando la altura como variable independiente y sabiendo que el volumen del mismo es siempre de 314 cm3.
  5. Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. Halla el área del triángulo en función de su base.

Dominio de una Función

Dominio a partir de gráfica

dificultad

Determina el dominio de las funciones representadas en las siguientes gráficas:

funciones a trozos definidas gráficamente

Dominio de funciones racionales

dificultad

Calcula el dominio de las siguientes funciones racionales.

  1. fx=1x2
  2. fx=x+3x-9
  3. fx=x+3x2-9
  4. fx=xx2+2x-3
  5. fx=x-1x2+2x-3
  6. fx=2x+3x2-12
  7. fx=x-2x3+2x2-3x
  8. fx=1x3+4x2+x-6

Dominio de funciones irracionales

dificultad

Calcula el dominio de las siguientes funciones con raíces.

  1. fx=x+1
  2. fx=1-x
  3. fx=3x-2
  4. fx=-3x2+5x-2
  5. fx=3x2-5x+2
  6. fx=x2-9
  7. fx=x2+3x
  8. fx=2x3+14x2+8x-24128
  9. fx=-3x2+5x-23

Dominio de funciones logarítmicas

dificultad

Calcula el dominio de las siguientes funciones con logaritmos.

  1. fx=lnx+1
  2. fx=log1-x
  3. fx=log23x-2
  4. fx=log5-3x2+5x-2
  5. fx=logπ3x2-5x+2
  6. fx=logex2-9
  7. fx=logx2+3x
  8. fx=log1282x3+14x2+8x-24

Dominio de funciones a trozos

dificultad

Calcula el dominio de las siguientes funciones definidas por partes:

  1. fx=2x2+3six<11x-3six>1
  2. fx=x+22-xsix<21six=3x-10six>4

Dominio de funciones trigonométricas

dificultad

Calcula el dominio de las siguientes funciones trigonométricas.

  1. fx=sin3x2+2
  2. fx=cos3x2+2
  3. fx=tanx+1
  4. fx=csc3x2+2
  5. fx=sec3x2+2
  6. fx=cot3x2+2

Calcular dominio

dificultad

Calcula el dominio de las siguientes funciones.

  1. fx=2x-3x-2
  2. fx=xx2-4x
  3. fx=x-2x2-93
  4. fx=3x+2+x+cosx+lnx2-1-5
  5. fx=12x-2x+1
  6. fx=x3+76x+1213
  7. fx=2-xx+1
  8. fx=x2x2+1
  9. fx=x2x2-1
  10. fx=9-x+9+x
  11. fx=logx+25x
  12. fx=x-2
  13. fx=xx
  14. La fuerza con la que se atraen dos cargas en función de la distancia que las separa

Recorrido de una Función

Recorrido de una función a partir de gráfica

dificultad

Determina el conjunto imagen de las funciones representadas en las siguientes gráficas:

funciones a trozos definidas gráficamente

Calcular recorrido de funciones

dificultad

Calcula el conjunto imagen en las siguientes funciones:

  1. fx=-2
  2. fx=2x3-1
  3. fx=-x2+3x-1
  4. fx=-x2+3x-1
  5. fx=x13
  6. fx=3·sinx2+2
  7. fx=3·secx2+2

Recorrido a partir de función inversa

dificultad

Suponiendo que todas las funciones siguientes tienen función inversa, calcula, a partir de ella, el recorrido de las mismas:

  1. fx=3x+2x
  2. fx=3x2-9
  3. fx=211-x

Análisis de Funciones

Signo de una función

dificultad

Estudia los intervalos de signo constante en las siguientes funciones:

  1. fx=-12x2+12x+3
  2. fx=x+2x-2
  3. fx=x2x+4
  4. fx=x-9x

Análisis gráfico de funciones

dificultad

Estudia las funciones representadas en las siguientes gráficas, calculando su dominio, recorrido, monotonía, curvatura, acotación, simetría y periodicidad.

gráficas de funciones a analizar

Salvo en el último caso, en el resto puedes asumir que cada cuadro de la cuadrícula tiene una longitud de 1 unidad x 1 unidad.

Simetría de funciones

dificultad

Determina el tipo de partidad, par o impar, que presentan las siguientes funciones:

  1. fx=x
  2. fx=x2+2x+1
  3. fx=3xx2+2
  4. fx=3x4x2-2
  5. fx=ex3

Función Definida a Trozos

Gráficas de funciones a trozos

dificultad

Representa y analiza las siguientes funciones:

  1. fx=3six<03-xsi0x<6-3six>6
  2. fx=x2-2x+2six<1-x2+2six1
  3. fx=1/xsix<00six=01/xsix>0
  4. fx=x+4si-3x-1x-4si1x3

Expresión analítica a partir de gráfica de función a trozos

dificultad

Determina la expresión analítica de las siguientes funciones:

Dos funciones a trozos

Modelado de situaciones reales con funciones a trozos

dificultad

Encuentra las funciones reales que sirven para describir las siguientes situaciones:

  1. La dosis de un determinado medicamente debe comenzar con 6mg el primer día y aumentar 2mg cada día, hasta cumplir la primera semana. A partir de ahí, la dosis se mantiene constante durante otra semana. Finalmente se debe disminuir de manera progresiva hasta desaparecer totalmente en 10 días
  2. Un móvil parte del reposo y aumenta su velocidad con una aceleración constante de 3m/s2 (es decir, aumenta 3m/s la velocidad cada segundo) hasta llegar a los 18m/s. Ahí permanece 10 segundos y después aplica un frenado que reduce su velocidad a razón 6m/s2
  3. El precio por aparcar en un determinado parking es de 0.15$/min las dos primeras horas. Luego se reduce a 0.10$/min durante las 3 horas siguientes. Finalmente, el precio se reduce hasta 0.05$/min a partirdel a quinta hora, hasta un máximo de 50$/min por día

Determina, así mismo, el dominio y el recorrido de todas ellas.

Valor Absoluto de una Función

Pasar función a trozos a valor absoluto

dificultad

Convierte, si es posible, las siguientes funciones definidas por ramas a su forma correspondiente en valor absoluto:

  1. fx=2-xsix<2x-2six2
  2. fx=x23+3x+6six<-6-x23-3x-6si-6x-3x23+3x+6six>-3
  3. fx=-lnxsi0<x1lnxsix>1
  4. fx=x-2six<22-xsix2

Representación de funciones con valor absoluto

dificultad

Representa gráficamente las siguientes funciones y obtén su expresión analítica en forma de función a trozos:

  1. fx=3x2-1
  2. fx=x2+2x-2
  3. fx=-x2-2x+2
  4. fx=ex-1
  5. fx=lnx

Dominio de funciones en valor absoluto

dificultad

Determina el dominio de las siguientes funciones:

  1. fx=3x+1
  2. fx=3x+1+x
  3. fx=x+1
  4. fx=x+1x+1

Pasar valor absoluto a función trozos

dificultad

Define las siguientes funciones en forma de funciones a trozos:

  1. fx=2x+12
  2. fx=2x+12+3
  3. fx=-2x2+4x+6
  4. fx=x-2-1

Transformación de Funciones

Transformaciones de puntos de una función

dificultad

Sabiendo que f(x) pasa por el punto (2,5), di un punto de:

  • y=fx-2
  • y=fx-1
  • y=15fx
  • y=3fx
  • y=-fx
  • y=f-x
  • y=-3f-x+2

Parámetros función a partir de gráfica

dificultad

Determina el valor de a y b en los siguientes casos:

funciones del ejercicio

Siendo la función en 1 f1x=1x-a+b , y la función en 2 f2x=x+a2+b

Transformaciones de puntos de una función

dificultad

Sabiendo que f(x) pasa por el punto (2,5), di un punto de:

  • y=fx-2
  • y=fx-1
  • y=15fx
  • y=3fx
  • y=-fx
  • y=f-x
  • y=-3f-x+2

Transformación gráfica de funciones

dificultad

1.- Dibuja la gráfica de f(x)=x2. A partir de ella dibuja: a) gx=fx+1 ; b) gx=fx+2+1 ; c) gx=fx2 ; d) gx=fx-22

2.- Dibuja la gráfica de f(x)=1/x. A partir de ella dibuja:​ a)fx=1x+2 ; b) fx=1x-3+2 ; c)fx=12x ; d) fx=1-x+2

3.- Representa fx=-3-x-2

4.- A partir de la gráfica de la función f(x) de la ilustración:

Función arbitraria

Representa: a) g(x)=-f(-x) ; b) g(x)=3-f(-x) ; c) g(x)=3-f(-2x) ; d) g(x)=3-2·f(-2x-2)

Representación gráfica mediante transformación de funciones elementales

dificultad

Representa las siguientes funciones mediante las transformaciones de las funciones tipo asociadas:

  1. fx=1-x 
  2. fx=2x-32+1
  3. fx=3·e-x2
  4. fx=-lnx3+1+2
  5. fx=cosx+22

Suma y Resta de Funciones

Suma y resta de funciones

dificultad

Realiza las siguientes operaciones, calcula el dominio de la función resultante y determina el elemento simétrico de cada función para la operación suma:

  1. fx=1xgx=x+2x-1fx+gxfx-gx
  2. fx=x+2gx=2-xfx+gxgx-fx
  3. fx=2x3+1gx=ln-x-2gx+fx
  4. fx=x-1xgx=-x+1xfx+gx

Multiplicación de Funciones

Producto de funciones

dificultad

Realiza el producto de las siguientes funciones y determina el recíproco multiplicativo de cada una de ellas.

fx=x-2x+2gx=x2-4x2+4¿fx·gx ?

División de funciones

Cociente de funciones

dificultad

Divide las siguientes funciones:

  1. fx=10-x ;gx=1x-2
  2. fx=10-x ;gx=x-2

Función Compuesta

Componer funciones

dificultad

Realiza las siguientes composiciones de funciones:

  • fx=x2+5x-3 ;gx=x2 fgx , gfx, gf1
  • fx=cosx ;gx=x2 fgx , gfx , ggx
  • fx=3x ;gx=x3 fg , gf , gg en x=2
  • fx=lnx+2 ;gx=1x "f compusta con g" y "g compuesta con f"

Funciones compuestas, tablas y gráficas

dificultad

A partir de la siguiente tabla, calcula los valores pedidos:

  x=1 x=2 x=3 x=4
f(x) 3 1 2 4
g(x) 4 3 2 1
  1. fg2
  2. gf2
  3. ff1
  4. fgf3

Repite luego el proceso pero considerando los datos de la siguiente imagen, en lugar de los de la tabla:

Dos funciones para el cálculo de las funciones compuestas en puntos pedidos

Expresar una función como compuesta

dificultad

Encuentra las siguientes expresiones a través de la composición de dos funciones distintas:

  1. hx=3x+2
  2. hx=3x4+x2+1

Encontrar una función componente de la compuesta

dificultad

Busca la función pedida en cada caso:

  1. fg=x+3 ;fx=2x ;¿gx?
  2. fg=x+ln13x+11 ;fx=x+22 ;¿gx?

Dominio de la función compuesta

dificultad

Calcula las siguientes funciones compuestas y su dominio:

  • fx=x+3 ;gx=x2-2x-1 ;fg
  • fx=x-1;gx=3x+1;fg y gf
  • fx=xx+2;gx=1x-1;fg
  • fx=x-3;gx=xx+2;fg
  • fx=-3x2-2;gx=x+1x;gf

¿Encuentras algo de especial en este último caso?

Función Inversa

Cálculo de la función inversa

dificultad

Determina la función inversa de las siguientes funciones:

  1. fx=-3x+1
  2. fx=23-3x
  3. fx=2x+13
  4. fx=2+x2-x
  5. fx=lnx-1

Comprobar que dos funciones son inversas

dificultad

Comprueba si las siguientes parejas de funciones son inversas:

  1. fx=1-4x ;gx=41-x
  2. fx=x+1 ;gx=-x-1
  3. fx=3x ;gx=x3

En el caso de que sean inversas, comprueba que si el punto (a,b) pertenece a la primera función, entonces el punto (b,a) pertenece a su inversa.

Determina la inversa gráficamente

dificultad

Determina la gráfica de la función inversa en los siguientes casos:

gráfica de funciones

Descomponer función no inyectiva para el cálculo de la inversa

dificultad

¿Es posible determinar la inversa de la función fx=x-12-1? Comprueba que, para hacerlo, tienes que descomponerla en dos ramas, y posteriormente, calcula la inversa.

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del tema Funciones Elementales. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Función Matemática

Definición de función

f:ABab=fa

Funciones Reales de Variable Real

Definición función real

f:Domfxy=fx

Definición de dominio de una función real

Domf= x / y=fx 

Definición de recorrido de una función real

Recf=y / xDomf con fx=y

Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas

Definición de función inyectiva

a,bDomf , si fa= fba=b

Definición de función sobreyectiva

yCodf xDomf / fx=y

Definición de función biyectiva

yCodf !xDomf /fx=y

Dominio de una Función

Definición función real

f:Domfxy=fx

Definición de dominio de una función real

Domf= x / y=fx 

Dominio de la función compuesta

Dom_{g\circ f}=\:\left\{x\in Dom_f\;\vert\;f\left(x\right)\in Dom_g\right\}

Recorrido de una Función

Definición de recorrido de una función real

Recf=y / xDomf con fx=y

Análisis de Funciones

Definición de dominio de una función real

Domf= x / y=fx 

Definición de recorrido de una función real

Recf=y / xDomf con fx=y

Ceros de una función

fx=0

Condición de concavidad en intervalo

fx2-fx1x2-x1fx-fx1x-x1

Condición de convexidad en intervalo

fx2-fx1x2-x1fx-fx1x-x1

Cota superior

y=kfxk xDomf

Cota inferior

y=kfxk xDomf

Condición de simetría par

fx=f-x

Condición de simetría impar

-fx=f-x

Función periódica

fx=fx+T

Función Definida a Trozos

Forma general función a trozos

fx=Expr1siSubconjunto1Expr2siSubconjunto2ExprnsiSubconjunton

Valor Absoluto de una Función

Función en valor absoluto

y=fx=fxsifx0-fxsifx<0

Dominio del valor absoluto de una función

Domf=Domf

Transformación de Funciones

Desplazamiento vertical de una función

y=fx±k

Desplazamiento horizontal de una función

y=fxk

Reflexión vertical de una función

y=-fx

Reflexión horizontal de una función

y=f-x

Expansión/contracción vertical de una función

y=k·fx

Expansión/contracción horizontal de una función

y=fk·x

Suma y Resta de Funciones

Suma de funciones

f+gx=fx+gxDomf+g=DomfDomg

Resta de funciones

f-gx=fx-gxDomf-g=DomfDomg

Multiplicación de Funciones

Multiplicación de funciones

f·gx=fx·gxDomf·g=DomfDomg

División de funciones

División de funciones

f/gx=fx/gxDomf/g=DomfDomg-xDomg | g(x)=0

Función Compuesta

Función compuesta

xffxggfx=gfx

Dominio de la función compuesta

Dom_{g\circ f}=\:\left\{x\in Dom_f\;\vert\;f\left(x\right)\in Dom_g\right\}

Función Inversa

Función inversa

f-1:RecfDomfyx=f-1y , con fx=y

Condición de función inversa

ff-1x=f-1fx=x

Inversa de la composición de dos funciones

fg-1=f-1g-1

Ficha de temas relacionados

El tema no se encuentra disponible en otros niveles educativos.