Funciones Elementales

La siguiente tabla contiene pares ordenados de números naturales que han sido tomados evaluando una función de ℕ en ℕ. Define dicha función matemática y calcula f(21).

Modela las siguientes situaciones mediante funciones:

1. La población de una pequeña ciudad aumenta un 15% cada año. Consideramos instante inicial el año 1983 en el que la población era de 500 habitantes. ¿Cuál será la población en el año 2050, de continuar la misma tendencia?
2. La temperatura media en una comarca depende de la altura, de manera que se ha observado que se reduce 1.3 ºC por cada 160 m de ascenso . Sabiendo que el punto más bajo de la comarca está al nivel del mar, y que la temperatura media allí es de 22º, ¿qué altura habrá en su lugar más alto, a 950 m?
3. El coste de una llamada al extranjero tiene un precio de conexión de 0.55 €. Durante el primer minuto el contador se mantiene estático, pero una vez transcurrido este, el coste de la llamada aumenta a razón de 0.50 € cada minuto. ¿Cuál será el coste de una llamada de 20 minutos?
4. Determina una función para el cálculo del radio de cilindros tomando la altura como variable independiente y sabiendo que el volumen del mismo es siempre de 314 cm³.
5. Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. Halla el área del triángulo en función de su base.

Calcula el dominio de las siguientes funciones.

1. $$f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x-3}}{x-2}$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4x}}$$
3. $$f\left(x\right)=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-9}}$$
4. $$f\left(x\right)=3^{x+2}+\sqrt{x}+\cos \left(x\right)+\ln \left(x^2-1\right)-5$$
5. $$f\left(x\right)=\frac{12x-2}{\sqrt{x}+1}$$
6. $$f\left(x\right)=\frac{x^3+7}{\sqrt[13]{6x+12}}$$
7. $$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2-x}{x+1}}$$
8. $$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}}$$
9. $$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}$$
10. $$f\left(x\right)=\sqrt{9-x}+\sqrt{9+x}$$
11. $$f\left(x\right)={\log }_{x+2}\left(5x\right)$$
12. $$f\left(x\right)=\left|x-2\right|$$
13. $$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{\left|x\right|}{x}}$$
14. La fuerza con la que se atraen dos cargas en función de la distancia que las separa

Suponiendo que todas las funciones siguientes tienen función inversa, calcula, a partir de ella, el recorrido de las mismas:

1. $$f\left(x\right)=\frac{3x+2}{x}$$
2. $$f\left(x\right)=\frac{3}{x^2-9}$$
3. $$f\left(x\right)=2^{\frac{1}{1-x}}$$

Determina el tipo de partidad, par o impar, que presentan las siguientes funciones:

1. $f\left(x\right)=x$
2. $f\left(x\right)=x^2+2x+1$
3. $f\left(x\right)=\frac{3x}{x^2+2}$
4. $f\left(x\right)=\frac{3x^4}{x^2-2}$
5. $f\left(x\right)=e^{x^3}$

Encuentra las funciones reales que sirven para describir las siguientes situaciones:

1. La dosis de un determinado medicamente debe comenzar con 6mg el primer día y aumentar 2mg cada día, hasta cumplir la primera semana. A partir de ahí, la dosis se mantiene constante durante otra semana. Finalmente se debe disminuir de manera progresiva hasta desaparecer totalmente en 10 días
2. Un móvil parte del reposo y aumenta su velocidad con una aceleración constante de 3m/s² (es decir, aumenta 3m/s la velocidad cada segundo) hasta llegar a los 18m/s. Ahí permanece 10 segundos y después aplica un frenado que reduce su velocidad a razón 6m/s²
3. El precio por aparcar en un determinado parking es de 0.15$/min las dos primeras horas. Luego se reduce a 0.10$/min durante las 3 horas siguientes. Finalmente, el precio se reduce hasta 0.05$/min a partirdel a quinta hora, hasta un máximo de 50$/min por día

Determina, así mismo, el dominio y el recorrido de todas ellas.

Representa las siguientes funciones mediante las transformaciones de las funciones tipo asociadas:

1. $$f\left(x\right)=\sqrt{1-x}$$ 
2. $$f\left(x\right)={\left(2x-3\right)}^2+1$$
3. $$f\left(x\right)=3·e^{-\frac{x}{2}}$$
4. $$f\left(x\right)=-\ln \left(\frac{x}{3}+1\right)+2$$
5. $$f\left(x\right)=\cos \left(\frac{x+2}{2}\right)$$

Calcula las siguientes funciones compuestas y su dominio:

• $$f\left(x\right)=x+3 ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=x^2-2x-1 ;\hspace{0.17em}f\circ g$$
• $$f\left(x\right)=\sqrt{x-1}\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\left(x\right)=3x+1\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}f\circ g \text{y} g\circ f$$
• $$f\left(x\right)=\frac{x}{x+2}\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}f\circ g$$
• $$f\left(x\right)=\sqrt{x-3}\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{x}{x+2}\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}f\circ g$$
• $$f\left(x\right)=-3x^2-2\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\sqrt{x+1}x\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\circ f$$

¿Encuentras algo de especial en este último caso?