Enunciado

dificultad
Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Calcula el dominio de las siguientes funciones con ra铆ces.

  1. fx=x+1
  2. fx=1-x
  3. fx=3x-2
  4. fx=-3x2+5x-2
  5. fx=3x2-5x+2
  6. fx=x2-9
  7. fx=x2+3x
  8. fx=2x3+14x2+8x-24128
  9. fx=-3x2+5x-23

Soluci贸n

Consideraciones previas

Las raices de 铆ndice par no pueden ser negativas, por lo que restringiremos el dominio a aquellos valores de x que cumplan esta condici贸n. En el caso de que el radicando ("lo que hay dentro de la ra铆z") sea un polinomio de primer grado, la resoluci贸n de la inecuaci贸n es inmediata, como veremos. Para el caso de polinomios de mayor grado, recurriremos a un cuadro de signos. Estos son muy 煤tiles siempre que la funci贸n pueda descomponerse en productos o cocientes de productos y nos indican el signo de la funci贸n en distintos intervalos de x.

Para descomponer en productos o cocientes de productos los polinomios de grado mayor de dos utilizamos Ruffini o, en el caso concreto de un polinomio de segundo grado, la resoluci贸n de una ecuaci贸n de segundo grado.

Puedes estudiar las funciones irracionales en profundidad en el apartado enlazado.

Soluci贸n

fx=x+1

x+10x-1Domf=[-1,)

fx=1-x

1-x0-x-1x1Domf=(-,1]

fx=3x-2

3x-203x2x23Domf=[2/3,)

fx=-3x2+5x-2

Tenemos que resolver la inecuaci贸n -3x2+5x-2猢0. Lo haremos mediante la tabla o cuadro de signos. Para comenzar factorizamos el radicando:

-3x2+5x-2=0x=-552-4-3-22-3=x1=1x2=2/3-3x2+5x-2=-3x-1x-23

A partir de las dos ra铆ces del polinomio (los valores de x que lo hacen 0) podemos distinguir 3 intervalos. En cada intervalo el polinomio tiene un signo. Mediante la tabla estudiamos el signo de cada factor (primera columna), en cada uno de los intervalos (primera fila), para as铆 averiguar el signo del polinomio total en tales intervalos (煤ltima fila). Veamos:

(-鈭,2/3) (2/3,1) (1,鈭)
(x-2/3) - + +
(x-1) - - +
(x-2/3)路(x-1) + - +
-3(x-2/3)路(x-1) - + -

Observa que para averiguar el signo de cada factor con forma (x-a), en las dos primeras filas, hemos tomado un valor al azar en ese intervalo y hemos obtenido el signo del factor. Para el signo del producto, en la tercera fila, multiplicamos los signos de las celdas de la misma columna de las filas anteriores, es decir, multiplicamos el signo de los factores (x-2/3)路(x-1). Finalmente, como hay un factor -3, en la 煤ltima fila cambiamos los signos.

Signo par谩bola ramas hacia abajo

Signo de la par谩bola

Puedes visualizar el signo de la par谩bola en cada intervalo representando en una gr谩fica el polinomio del radicando, . Para ello observa si la par谩bola est谩 por encima (signo positivo) o por debajo del eje x (signo negativo). Los puntos de corte con el eje x son precisamente los puntos en los que la par谩bola cambia de signo.

En definitiva:

Domf=[2/3,1]

Donde hemos incluido en el dominio las propias ra铆ces del polinomio (extremos cerrados en 2/3 y en 1), porque en ellas el polinomio se anula, y la ra铆z cuadrada de cero no es un valor a restringir en el dominio.

fx=3x2-5x+2

En este caso tenemos una par谩bola como polinomio del radicando que es similar a la anterior, pero con las ramas hacia arriba. Es decir, 3x2-5x+2=--3x2+5x-2

El proceso de factorizaci贸n:

3x2-5x+2=0x=5-52-43223=x1=1x2=2/33x2-5x+2=3x-1x-23

Ahora usamos la tabla de signos para resolver la inecuaci贸n 3x2-5x+20, que es, en definitiva, la que nos permite obtener los valores incluidos en el dominio:

(-鈭,2/3) (2/3,1) (1,鈭)
(x-2/3) - + +
(x-1) - - +
(x-2/3)路(x-1) + - +

En este caso no es necesaria una 煤ltima fila para multiplicar el factor 3, ya que este no cambia el signo. Por tanto:

Domf=(-,2/3][1,)

Signo par谩bola con ramas hacia arriba

Signo de la par谩bola

Puedes visualizar el signo de la par谩bola en cada intervalo representando en una gr谩fica el polinomio del radicando. En este caso, las ra铆ces son las mismas (puntos en los que se anula la par谩bola) que en el caso anterior, pero la par谩bola tiene las ramas hacia arriba con lo que los signos son los complementarios en cada intervalo.

fx=x2-9

En este caso, la factorizaci贸n podr铆amos hacerla de nuevo resolviendo una ecuaci贸n de segundo grado, pero tambi茅n recordando las identidades notables:

x2-9=x2-32=a2-b2=a+ba-b(x+3)x-3

Es decir, las ra铆ces del polinomio son -3 y 3. Aplicando el cuadro de signos para resolver la inecuaci贸n x2-90:

(-鈭,-3) (-3,3) (3,鈭)
(x+3) - + +
(x-3) - - +
(x+3)路(x-3) + - +

Tomando los valores positivos de la 煤ltima fila obtenemos el dominio:

Domf=(-,-3][3,)

fx=x2+3x

De nuevo, un polinomio de segundo grado como radicando, que en esta ocasi贸n factorizaremos sacando factor com煤n la x.

x2+3x=xx+3

Las ra铆ces, por tanto son -3 y 0. Aplicando la tabla de signos:

(-鈭,-3) (-3,0) (0,鈭)
(x) - - +
(x+3) - + +
x(x+3) + - +

Para el dominio nos quedamos con la parte positiva:

Domf=(-,-3][0,)

fx=2x3+14x2+8x-24128

En este caso nos puede llamar la atenci贸n el 铆ndice de la ra铆z. Al ser de 铆ndice par, la restricci贸n es la misma que para las ra铆ces cuadradas, es decir, el radicando debe ser mayor o igual que cero. En este caso el radicando es un polinomio de grado 3. Lo factorizaremos por Ruffini:

2x3+14x2+8x-24=02148-24121624216240-2-4-2421202x3+14x2+8x-24=x-1x+22x+12=2x-1x+2x+6

Podemos aplicar de nuevo la tabla de signos para resolver 2x3+14x2+8x-240, sabiendo que las ra铆ces son -6, -2 y 1:

(-鈭,-6) (-6,-2) (-2,1) (1,鈭)
(x+6) - + + +
(x+2) - - + +
(x-1) - - - +
(x+6)(x+2)(x-1) - + - +

Quedando el dominio:

Domf=[-6,-2][1,)

fx=-3x2+5x-23

Es una ra铆z c煤bica en cuyo radicando hay un polinomio. Las ra铆ces de 铆ndice impar no imponen ninguna restricci贸n al dominio, el polinomio tampoco, con lo que:

Domf=

Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 Luis Fern谩ndez Yag眉es es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f铆sica, las matem谩ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

F贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

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