Dominio de funciones en valor absoluto

Consideraciones previas

Sabemos que el valor absoluto no impone por sí mismo ninguna restricción adicional al dominio. Es decir, Dom_f = Dom_|f| .

Resolución

Se trata de un polinomio de primer grado afectado por el valor absoluto. El dominio es el mismo que el de cualquier polinomio, es decir:

En este caso hay una restricción adicional impuesta por la raíz cuadrada, cuyo radicando, x, debe ser mayor o igual que cero.

En este caso la función valor absoluto está dentro de otra función. Para ver exactamente cómo afecta, podemos pasar a la forma en ramas. Si quieres practicar, visita este ejercicio para pasar de funciones en valor absoluto a funciones a ramas. Aquí seguiremos un método ligeramente distinto para el cambio (e igualmente válido) a fin de que sepas abordar el problema desde distintas perspectivas. Observa:

Consiste en aplicar de manera directa la definición de valor absoluto, , y ahora desarrollar la función a trozos que queda:

Como puedes observar, los valores en el interior de la raíz para cada rama son siempre positivos (ó 0), es decir:

En este caso, vamos a proceder de manera similar, teniendo en cuenta que hay un denominador que impone la restricción de que no puede hacerse cero, y la raíz cuadrada que obliga al radicando a ser mayor o igual que cero. Del denominador podemos ya deducir que el dominio final no puede tener el valor x=-1. En cuanto a la restricción de la raíz, debemos pasar a la forma a trozos:

Llegados a este punto observa que podemos hacer simplificaciones adicionales:

Como no existe la raíz de menos 1, podemos eliminar del dominio toda la rama inferior (x<-1). En cuánto a la rama superior, recuerda que ya habíamos quitado del dominio el -1, que anulaba el denominador. Aunque simplifiquemos no debemos quitar las restricciones al dominio impuestas por la función antes de simplificar, es decir: