Enunciado

dificultad
Dificultad alta para los ejercicios de nivel avanzado

Define las siguientes funciones en forma de funciones a trozos:

  1. fx=2x+12
  2. fx=2x+12+3
  3. fx=-2x2+4x+6
  4. fx=x-2-1

Soluci贸n

Consideraciones previas

Para convertir las funciones en su correspondiente expresi贸n por ramas debemos, en primer lugar, hacer un estudio del signo de la funci贸n. Esto consiste en buscar los puntos de corte con el eje x igualando a 0 lo que hay dentro del valor absoluto. Los valores obtenidos van a ser los puntos de cambio de rama. Adem谩s, estos puntos dividen la recta real en distintos intervalos en los que la funci贸n afectada por el valor absoluto puede ser positiva o negativa. Sustituyendo un valor cualquiera de cada intervalo en la funci贸n veremos el signo de la misma en todo el intervalo. Finalmente, en aquellos intervalos en los que la funci贸n tenga signo negativo, debe cambiarse el signo de la rama correspondiente. Vamos a ello.

Resoluci贸n

fx=2x+12

Se trata de una recta afectada por el valor absoluto. Comenzamos buscando los ceros de la misma.

2x+12=0x=-12

Por tanto, puede haber un cambio de signo en x=-1/2. En dicho valor habr谩 un cambio de rama cuando hagamos la funci贸n a trozos. Ahora se trata de establecer los intervalos de signo constante y estudiar el signo de la funci贸n en cada uno de ellos. Para ello nos valemos de un cuadro de signos.

(-鈭,-1/2) (-1/2,鈭)
2x+12 2-1+12<0- 20+12>0+

Con lo que habr谩 que cambiar el signo al primer intervalo. La funci贸n a trozos, por tanto, quedar谩:

fx=2x+12=-2x+12six-1/22x+12six>-1/2fx=-2x-12six-1/22x+12six>-1/2

Ten presente que el signo igual, en , podr铆a haber estado, de forma alternativa, en la otra rama como . Esto ocurre en todas las funciones del ejercicio.

fx=2x+12+3

Esta funci贸n es igual a la del apartado anterior, salvo que sumamos una constante (+3) fuera del valor absoluto. Dado que lo que hay en el interior del valor absoluto no cambia, el razonamiento y los valores utilizados para construir la funci贸n a trozos tampoco cambian, salvo que al final hay que tener en cuenta el +3. Es decir:

fx=2x+12+3=-2x+12+3six-1/22x+12+3six>-1/2fx=-2x-12+3six-1/22x+12+3six>-1/2

fx=-2x2+4x+6

Comenzamos buscando los ceros de la par谩bola:

-2x2+4x+6=0x=-442-4-262-2=x1=-1x2=3

En este caso tenemos 3 intervalos en los que la funci贸n presenta signo constante. Recurriendo a la tabla de signos descubrimos cu谩l es este signo:

(-鈭,-1) (-1,3) (3,鈭)
-2x2+4x+6 -2-22+4-2+6<0- -202+40+6>0+ -242+44+6<0-

De manera que la funci贸n a trozos queda:

fx=-2x2+4x+6=--2x2+4x+6six-1-2x2+4x+6si-1<x3--2x2+4x+6six>3fx=+2x2-4x-6six-1-2x2+4x+6si-1<x3+2x2-4x-6six>3

fx=x-2-1

Comenzamos, como siempre, buscando los ceros:

x-2-1=0x-2=12=2x-22=12x-2=1x=3

Ahora, en el cuadro de signos, debemos tener en cuenta que los valores escogidos para estudiar el signo de cada intervalo deben pertenecer al dominio de la funci贸n, que por incluir una ra铆z cuadrada no son el conjunto de los reales, como hasta ahora:

(-鈭,3) (3,鈭)
x-2-1 2.5-2-1<0- 6-2-1>0+

Ahora resta solamente construir la funci贸n a trozos pedida:

fx=x-2-1=-x-2-1six3x-2-1six>3

Ahora, observa que estamos diciendo que la primera rama es v谩lida para cualquier valor de x鈮3. 驴Qu茅 ocurre con x=0, por ejemplo? Efectivamente, nos queda una ra铆z negativa. Esto ocurre porque en realidad, el x=0 no est谩 en el dominio, por lo que para ser precisos debemos calcular el dominio y restringir los valores de x de las ramas a aquellos que pertenezcan al dominio. Hasta ahora no hab铆a sido necesario hacer esto porque las funciones pedidas ten铆an el conjunto de los reales por dominio.

En el caso que nos ocupa debemos quitar lo valores de x que hagan negativa la ra铆z. Matem谩ticamente:

x-20x2Domf=[2,)

Llevando esta restricci贸n a la funci贸n a trozos nos queda:

fx=-x-2-1si2x3x-2-1six>3

Autor art铆culo
Sobre el autor
Jos茅 Luis Fern谩ndez Yag眉es es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la f铆sica, las matem谩ticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

F贸rmulas

Estas son las principales f贸rmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teor铆a de los apartados relacionados. Adem谩s, en ellos encontrar谩s, bajo la pesta帽a F贸rmulas, los c贸digos que te permitir谩n integrar estas f贸rmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

F贸rmulas
Apartados relacionados
y=fx=fxsifx0-fxsifx<0
fx=Expr1siSubconjunto1Expr2siSubconjunto2ExprnsiSubconjunton

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