El valor absoluto de un número n es ese mismo número, cuando el número es positivo, o su opuesto cuando el número es negativo.

n=nsin0-nsin<0

Análogamente, el valor absoluto de una función se obtiene dejando la función igual, para aquellos tramos de la función que sean positivos, y cambiando su signo para aquellos tramos negativos. El ejemplo más sencillo es:

Función valor absoluto de x

Función f(x)=|x|

y=fx=x=xsix0-xsix<0

En este apartado vamos a profundizar en estas ideas a través de los siguientes puntos:

¿Empezamos?

Definición

De manera general, el valor absoluto de una función f(x), o función en valor absoluto, se define según:

y=fx=fxsifx0-fxsifx<0

Expresión gráfica

En una función afectada por el valor absoluto todos los valores de y deben ser positivos, por lo que su gráfica siempre quedará en la parte del semieje y positivo. De esta manera, conocida la gráfica de una función cualquiera, puedes obtener fácilmente su valor absoluto "reflejando" los tramos negativos en el eje x. Observa:

Gráfica de funciones el valor absoluto

Gráficas del valor absoluto de funciones

En la ilustración, en 1 y 2 y a la izquierda, dos funciones de gráficas conocidas, f(x) y g(x). Aplicado el valor absoluto obtenemos las gráficas a la derecha. Las partes que quedaban bajo el eje x, que es la parte negativa del eje y, se "reflejan" cuando se aplica el valor absoluto, y quedan en la zona positiva de este último.

Expresión analítica

Como puedes intuir a partir de la propia definición, las funciones en valor absoluto se pueden transformar en funciones a trozos. En general, para poder representar gráficamente una función a la que se haya aplicado el valor absoluto debes comenzar transformándola en una función definida a trozos, pues así vas a poder saber los intervalos que debes "reflejar" (los negativos). Para convertir una función en valor absoluto en una función a trozos:

  1. Iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y despeja la x, es decir, calcula sus raíces
  2. Las raíces forman intervalos. Evalúa el signo de la función en cada intervalo
  3. Define la función a trozos teniendo presente que, en los intervalos donde la función es negativa, se cambia el signo de la misma

Recuerda, lo que debe ser positivo en el valor absoluto de una función es el valor de la misma, es decir, la f(x), o, si lo prefieres, la y. Los valores de x, en cambio, no presentan ninguna restricción adicional a la que imponga el dominio, pudiendo por tanto ser positivos o negativos.

El dominio de una función en valor absoluto siempre coincide con el dominio de esa misma función a la que no se ha aplicado el valor absoluto. Es decir:

Domf=Domf

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Pasar función a trozos a valor absoluto

dificultad

Convierte, si es posible, las siguientes funciones definidas por ramas a su forma correspondiente en valor absoluto:

  1. fx=2-xsix<2x-2six2
  2. fx=x23+3x+6six<-6-x23-3x-6si-6x-3x23+3x+6six>-3
  3. fx=-lnxsi0<x1lnxsix>1
  4. fx=x-2six<22-xsix2

Representación de funciones con valor absoluto

dificultad

Representa gráficamente las siguientes funciones y obtén su expresión analítica en forma de función a trozos:

  1. fx=3x2-1
  2. fx=x2+2x-2
  3. fx=-x2-2x+2
  4. fx=ex-1
  5. fx=lnx

Dominio de funciones en valor absoluto

dificultad

Determina el dominio de las siguientes funciones:

  1. fx=3x+1
  2. fx=3x+1+x
  3. fx=x+1
  4. fx=x+1x+1

Pasar valor absoluto a función trozos

dificultad

Define las siguientes funciones en forma de funciones a trozos:

  1. fx=2x+12
  2. fx=2x+12+3
  3. fx=-2x2+4x+6
  4. fx=x-2-1

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Valor Absoluto de una Función. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Función en valor absoluto

y=fx=fxsifx0-fxsifx<0

Dominio del valor absoluto de una función

Domf=Domf

Ficha de apartados relacionados

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