Derivabilidad según parámetro

Consideraciones previas

Para que una función sea derivable en un punto hemos de garantizar la continuidad y que el valor de las derivadas laterales en el punto coincide.

En una función a trozos normalmente los puntos problemáticos son los cambios de rama. Por tanto, si igualamos los limites laterales en ellos para que la función sea continua en todo su dominio, e igualamos las derivadas laterales para que la función sea derivable en todo su dominio, resultará un sistema de ecuaciones en que nos será sencillo hayar el valor de los parámetros a y b.

Resolución

1.-

Al ser ambas ramas polinomios, el único punto problemático para la derivabilidad es el cambio de rama x=2. Primero estudiamos la continuidad de la función en él:

Para que la función sea continua los limites por la izquierda y por la derecha, tienen que coincidir:

Hemos llegado a una igualdad con la que seguiremos un poco más adelante, ahora estudiaremos las derivadas laterales:

Para que la función sea derivable, las derivadas laterales tienen que coincidir:

Con esto, y con la igualdad anterior podemos formar un sistema de ecuaciones para conocer los valores de a y de b:

Resolveremos por el método de sustitución:

Con lo que nos queda que a debe valer 5 y b 10 para que la función sea derivable.

2.-

Ninguna de las dos ramas presenta problemas de derivabilidad en los valores de x en que está definida (el ln(x) es continua y derivable para x>0). Por tanto, comenzamos comprobando continuidad en el punto problemático x=1:

Igualamos los limites laterales y queda que:

Hacemos lo mismo con las derivadas laterales:

...y nos queda que:

Ya tenemos el valor de a, que es 1; ahora sustituimos y nos queda:

Con lo que a vale 1 y b vale 0 s queremos que sea derivable.

3.-

De nuevo, ambas ramas son derivarles en el rango de valores en que están definidas (observa que x+1>0 en (-1,0]. Comprobamos la continuidad de la función en el cambio de rama x=0:

...y nos queda:

Después observamos las derivadas laterales:

Y obtenemos:

Como hemos obtenido valores de a diferentes para cada condición (continuidad y derivadas laterales) podemos decir que la función no es derivable para ningun valor de a.