Una función f(x) es derivable en un punto, cuando existe la derivada f'(x) de la función en ese punto y ésta derivada es continua en él.

En la práctica, para saber si una función f(x) es derivable en x=a puedes comprobar que:

f'a=Llimxa-f'x=Llimxa+f'x=Lf'a=limxaf'x=L

Es decir, f'(x) es continua en x=a.

En este apartado vamos a estudiar:

¿Empezamos?

Relación con la continuidad

De apartados anteriores sabes que la derivada de una función en un punto x=a, f'(a) se define según:

f'a=limh0fa+h-fah

Para que exista ese límite, deben existir y coincidir los límites laterales correspondientes, es decir limh0-fa+h-fah=limh0+fa+h-fah. Dichos límites constituyen la definición de derivadas laterales, con lo que podemos decir que la existencia de f'(a) implica que las derivadas laterales existen, son finitas, y coinciden.

Por otro lado, decimos que una función es continua en x=a cuando:

fa=limxafx

Pues bien, existe una relación entre continuidad y derivabilidad de una función.

Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en él. Sin embargo, una función puede ser continua en un punto pero no derivable en él.

Derivabilidad y continuidad

Interpretación gráfica

Las dos funciones superiores, en 1, son derivables en el punto considerado x=a. La pendiente de la curva, representada por la recta tangente en verde discontinuo, varía de manera suave. Todas las funciones derivables en un punto son continuas en él. Abajo, en 2 tenemos dos funciones continuas. En la de la izquierda hay un punto anguloso, y la de la derecha presenta una recta tangente vertical en el punto considerado. Ambos son ejemplos de funciones continuas no derivables.

Demostración

Partiendo de que limh0fa+h-fah=f'a (es decir, de que f es derivable en a) debemos llegar a que limxafx=fa (es decir, a que f es continua en a).

Comenzamos reescribiendo la condición de continuidad:

limxafx=falimh0fa+h=fa

Por otro lado, sabemos que:

fa+h-fa=·hhh·fa+h-fah

Tomando el límite cuando h tiende a 0 en ambos miembros de la expresión anterior obtenemos:

limh0fa+h-fa=limh0h·fa+h-fah

Ahora, el límite del producto es el producto de los límites, con lo que:

limh0fa+h-fa=limh0h0·limh0fa+h-fahf'a

Con lo que...

limh0fa+h-fa=0·f'alimh0fa+h-fa=0

Como -f(a) no depende de h, podemos "sacarla" fuera del límite, quedando finalmente:

limh0fa+h=fa

Decimos que una función es derivable en un intervalo cuando lo es en todos los puntos del mismo.

Dominio de derivabilidad

Se trata de un concepto importante relacionado con la derivabilidad de una función.

Llamamos dominio de derivabilidad al conjunto de puntos en los que una función es derivable. Se cumple que, en general, es un subconjunto del dominio de la función original:

Domf'Domf

Para calcular el dominio de derivabilidad simplemente calculamos el dominio de la función derivada.

Ten presente que una función no es derivable en los extremos del intervalo en el que está definida, si estos son un valor finito. Así, por ejemplo, la función fx=x tiene como dominio Dom(f)=[0,∞), y como dominio de derivabilidad Dom(f)=(0,∞)

Observa que el 0, en el extremo inferior del dominio, no pertenece al dominio de derivabilidad, a pesar de pertenecer al dominio.

Efectivamente, tú mismo podrías haber llegado a esta conclusión al observar que el dominio de la función derivada de fx=x...

f'x=12x

...es justamente (0,∞)

Derivabilidad de una función a trozos

Un caso de particular interés en el estudio de la derivabilidad es cuando una función está definida a trozos, es decir, mediante diferentes expresiones según la rama. En este tipo de funciones hemos de asegurarnos que:

  • La función f(x) es continua
  • La función no presenta un punto anguloso

Así pues, para estudiar la derivabilidad de una función a trozos en el cambio de rama puedes seguir los siguientes pasos:

  • Estudiamos la continuidad en el cambio de rama (supongamos que dicho cambio se produce en x=a)
    • Si la función no es continua, tampoco es derivable en el cambio de rama
    • Si la función es continua, estudiamos las derivadas laterales
      • Si son finitas y coinciden, la función es derivable en el punto considerado, y el valor de la derivada en el cambio de rama, f'(a), es precisamente el de las derivadas laterales
      • Si no coinciden la función no es derivable en el cambio de rama, es decir, no existe f'(a)

No olvides comprobar, si fuera preciso, la derivabilidad en el resto de puntos del dominio. ¡Visita los ejercicios asociados a este apartado para profundizar en todo ello!

Ejemplo

Si nos pidiesen calcular la derivabilidad y el dominio de derivabilidad de la función valor absoluto, tenemos:

fx=x=-xsix<0xsix0

Se trata de buscar los puntos problemáticos para la derivabilidad. En este caso, el punto que puede presentar problemas de derivabilidad es x=0. Aunque la función es continua en él...

limx0-fx=limx0+fx=f0=0

...las derivadas laterales en él no coinciden:

f'0-=-1 ;f'0+=1 

Con lo que la función no es derivable en x=0 y no existe f'(0). Por tanto:

Domf'=-0Domf=

Dominio de derivabilidad en función valor absoluto

Dominio de derivabilidad en función valor absoluto

La función valor absoluto de x es continua en todos los reales, pero presenta un punto anguloso en x=0 que hace que no sea derivable en él, quedando por tanto excluido del dominio de derivabilidad.

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Derivabilidad funciones por ramas y en valor absoluto

dificultad

Averigua y explica en qué puntos no son derivables las siguientes funciones:

  1. fx=x2-x-6
  2. fx=x-2
  3. fx=x2-4
  4. fx=x2+2six<0-x+1six0
  5. fx=x2+1six<-1-x+1six-1
  6. fx=x2-x+1six1xsix>1

Derivabilidad según parámetro

dificultad

Determina, si es posible, el valor de los parámetros para que las siguientes funciones sean derivarles en todo su dominio:

  1. fx=ax2+2x+6six<2x3+bx+2six2
  2. fx=x2-ax+b+1six1alnx+1six>1
  3. fx=x+1logx+1si-1<x0a1-e-x+1six>0

Derivabilidad y dominio de derivabilidad

dificultad

Estudia la derivabilidad señalando el dominio de derivabilidad de las siguientes funciones:

  1. fx=x+1
  2. fx=2x+1six<02six=02x+3six>0
  3. fx=ex+1-1six-1x+1e-x+12six<-1
  4. fx=x2-xsix-2yx20six=-2ox=2
  5. fx=lnx-2six<33x-9six3
  6. fx=ex-1six00si0<x<3-x2+3x+1six3

Derivabilidad raíz de x al cubo más x al cuadrado

dificultad

Determina la derivabilidad de la función:

fx=x3+x2

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Derivabilidad y Continuidad. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Derivabilidad de una función en un punto

f'a=Llimxa-f'x=Llimxa+f'x=Lf'a=limxaf'x=L

Ficha de apartados relacionados

El apartado no se encuentra disponible en otros niveles educativos.