Derivadas Laterales

Las derivadas laterales, izquierda y derecha, de una función en un punto nos dan información de la rapidez con la que varía una función cuando se aproxima a ese punto por la izquierda o por la derecha respectivamente. En este apartado vamos a estudiar:

• La definición de derivadas laterales
• Qué es un punto anguloso
• Qué es un punto de retroceso
• Cómo calcular las derivadas laterales
• Cómo obtener una expresión para la derivada de funciones a trozos

¿Preparado?

Definición

Puesto que la derivada de una función es, por definición, un límte, podemos calcular las derivadas laterales en un punto.

Ya sabes, de apartados anteriores, que una función se dice derivable en x=a cuando existe f'(a) y f'(x) es continua en x=a. Dado que $f\text{'}\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$, podemos afirmar que si una función es derivable en un punto entonces las derivadas laterales existen y son iguales, con lo que podemos escribir:

$$f\left(x\right) \text{derivable en} x=a \iff f\text{'}\left(a^{-}\right)=f\text{'}\left(a^{+}\right)=f\text{'}\left(a\right)$$

Observa que la expresión anterior también se puede leer de derecha a izquierda (siempre que f(x) sea continua en x=a) , es decir, que cuando las derivadas laterales en x=a existen y son iguales a f'(a), la función es derivable en x=a.

Punto anguloso

Podemos interpretar gráficamente las ideas anteriores. Recuerda que la derivada de una función en un punto es la pendiente de su recta tangente. En una función en la que las derivadas laterales coincidan en un punto (es decir, en una función derivable en x=a), los cambios en la pendiente de la función son "suaves".

Por el contrario, en aquellos puntos en los que las derivadas laterales no coincidan aparecerán puntos angulosos.

Derivadas laterales y puntos angulosos

Cuando las derivadas laterales coinciden en un punto, la curva cambia su pendiente (representada por la recta tangente en verde discontinuo) de manera suave. Es el caso de la gráfica 1 en x=a. En la función representada en 2, la derivada lateral izquierda, representada por la recta tangente verde, es negativa. La derecha, representada por la recta azul, es positiva, con lo que tenemos un punto anguloso. Finalmente, en 3, también tenemos un punto anguloso, pero en el que una de las derivadas laterales, la derecha, es infinito.

Punto de retroceso

Un caso particular ocurre cuando las dos derivadas laterales existen en x=a, pero son infinitas y de distinto signo. En estos casos hablamos de un punto de retroceso.

Punto de retroceso

Cuando las derivadas laterales son infinitas, y de distinto signo, estamos ante un punto de retroceso. Recuerda que si sólo una de las derivadas laterales es infinito, siendo la otra un valor concreto, se trataría de un punto anguloso.

Cálculo

Te recomendamos que sigas los siguientes pasos

1. Comienza derivando f(x) y obteniendo f'(x). Utiliza para ello las reglas de derivación ya estudiadas

2. Aplica los límites laterales para obtener el valor concreto de la derivada lateral, así:

   $$\begin{gathered} f\text{'}\left(a^{-}\right)=\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\text{'}\left(x\right) \\ f\text{'}\left(a^{+}\right)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\text{'}\left(x\right) \end{gathered}$$

Algunos casos particulares:

• En las funciones habituales derivables en todo su dominio, y definidas por una sola expresión analítica, el valor de las derivadas laterales coincidirá con el valor de la derivada de la función en el punto. Por ejemplo:

  $$f\left(x\right)=3x^2+2\Rightarrow f\text{'}\left(5^{-}\right) =\hspace{0.17em}f\text{'}\left(5^{+}\right)=f\text{'}\left(5\right)={\overline{)3·2·x}}_{x=5}=30$$

• En las funciones definidas a trozos, si el punto pedido es justamente un punto de cambio de rama, derivamos cada rama por separado, y utilizamos la rama izquierda o derecha según estemos calculando la derivada lateral izquierda o la derecha. Por ejemplo:

  <$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^3& \text{si}& x<1\\ e^x& \text{si}& x\ge 1\end{array}\right.\Rightarrow \\ \Rightarrow \begin{array}{c}f\text{'}\left(1^{-}\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }D\left(x^3\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }3·x^2=3\\ f\text{'}\left(1^{+}\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }D\left(e^x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{e}^x=e\end{array} \end{gathered}$$

• En las funciones definidas a trozos, si el punto pedido no es un punto de cambio de rama, actuaremos normalmente, teniendo en cuenta la rama a la que pertenece x=a. Por ejemplo:

  $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^3& \text{si}& x<1\\ e^x& \text{si}& x\ge 1\end{array}\right.\Rightarrow f\text{'}\left(-2^{-}\right)=f\text{'}\left(-2^{+}\right)=\underset{x\to -2^{-}}{\lim }D\left(x^3\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }D\left(x^3\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }3x^2=12$$

Aunque es más tedioso, también puedes aplicar directamente la definición de derivada lateral que hemos visto al comienzo del apartado.

Expresión de la derivada de una función a trozos

Llegados a este punto no debe serte complicado encontrar la expresión para la derivada de una función definida a trozos.

• La expresión de cada rama en la función derivada será la derivada de la rama original
• Los extremos de cada rama son los mismos que los de la función original, teniendo en cuenta que si en la función original hay un signo =, la función derivada solo puede tener el signo igual cuando la función sea derivable en ese punto, es decir, cuando:
  • Sea continua
  • ...y cuando sus derivadas laterales coincidan

El siguiente ejemplo te aclarará las ideas. Si...

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3x+2& \text{si}& x<1\\ x^2+x& \text{si}& x\ge 1\end{array}\right.$$

... derivando cada rama, podemos estar seguros de que:

$$f\text{'}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3& \text{si}& x<1\\ 2x+1& \text{si}& x>1\end{array}\right.$$

Ahora bien...¿podemos poner el signo ≥ en la segunda rama (o el signo ≤ en la primera)? Solo si la función es continua y sus derivadas laterales coinciden en x=1. Comenzamos por la continuidad:

$$\left.\begin{array}{c}f\left(1^{-}\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }3x+2=5\\ f\left(1^{+}\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }{x}^2+x=2\end{array}\right\}f\text{'}\left(1^{-}\right)\ne f\text{'}\left(1^{+}\right)$$

Como no coinciden, la función no es derivable en x=1, con lo que no podemos colocar el signo ≥ en la segunda rama (ni el signo ≤ en la primera). Así, solo podemos escribir:

$$f\text{'}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3& \text{si}& x<1\\ 2x+1& \text{si}& x>1\end{array}\right.$$

Efectivamente, observa que:

$$f\text{'}\left(1^{-}\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim } 3=3 ;\hspace{0.17em} f\text{'}\left(1^{+}\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim } 2x+1=3$$

Si deseas ampliar información, consulta este ejercicio.