Cargas en un triángulo equilatero

Datos

K = 9·10⁹ N·m²/C²
r₁₃ = r₁₂ = r₂₃ = 50 cm = 0.5 m

q₁ = -2 µC = -2·10^-6 C
q₂ = -6 µC = -6·10^-6 C
q₃ = 4 µC = 4·10^-6 C

Resolución

Antes de comenzar a resolver el ejercicio, lo ideal es elegir un sistema de referencia y situar dichas cargas dentro del sistema. Por simplicidad, posionaremos el origen de coordenadas encima de q₁.

Si observamos la figura nos daremos cuenta de que la posición de q₁ y q₂ es:

• q₁ (0,0) m
• q₂ (0.5,0) m

Sin embargo, calcular la posición de q₃ no es algo tan trivial. La componente x será la mitad de la distancia entre q₁ y q₂ (x = 0.25 m) y para calcular la componente y tendremos que hacer uso de la definición de coseno (o alternativamente del teorema de Pitágoras) teniendo en cuenta que en un triángulo equilatero todos sus ángulos poseen 60º y que cada triángulo equilatero se puede descomponer en dos triángulos rectángulos. Girando uno de ellos obtenemos: 

De esta forma para calcular la altura (b) a la que se encuentra la carga q₃, basta con aplicar la definición de coseno:

Por tanto la posición de nuestras cargas es:

• q₁ (0,0) m
• q₂ (0.5,0) m
• q₃ (0.25,0.43) m

Aplicando el principio de superposición de fuerzas eléctricas, la fuerza (F3) que actúa sobre q₃ será la suma vectorial de:

• la fuerza que ejerce q₁ sobre q₃ (). Como q₁ y q₃ tienen distinto signo,  será atractiva.
• la fuerza que ejerce q₂ sobre q₃ (). Como nuevamente q₂ y q₃ tienen distinto signo,  será atractiva.

Estudiando cada fuerza por separado tenemos que:

Fuerza

De todos los valores que necesitamos para calcular , nos falta . Sin embargo sabemos que  es un vector unitario de , por lo que:

Como conocemos la posición de q₁ y q₃, conocemos los puntos extremo y origen del vector . Aplicando el concepto de vector:

De aquí sabemos que:

Por tanto:

Fuerza

Aplicando los mismos pasos que para la fuerza anterior:

Una vez que hemos calculado ambas fuerzas, ya estamos en disposición de calcular la fuerza resultante que ejercen q₁ y q₂ sobre q₃:

Por ultimo, para obtener su valor numérico calcularemos su módulo: