Suma de Vectores

Vamos a estudiar la suma de vectores desde el punto de vista gráfico, y desde el punto de vista analítico.

Representación gráfica

Como los vectores tienen módulo y dirección, la suma de vectores no sigue las reglas de la suma tradicional de los escalares. De forma gráfica, la suma de dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ nos dará como resultado otro vector $\vec{c}$ que podemos obtener mediante 2 métodos distintos: el método de la cabeza con cola (o del extremo con origen) y la regla del paralelogramo.

Método de la cabeza con cola.

Respetando la dirección y sentido de ambos vectores,

Desplazamos el vector $\vec{b}$ de tal forma que su origen se encuentre a continuación del extremo de $\vec{a}$ .
$\vec{c}$ será el segmento recto que podamos dibujar desde el origen de $\vec{a}$ hasta el extremo de $\vec{b}$ .

Regla del paralelogramo

La podemos aplicar si los vectores no tienen la misma dirección:

Se situán los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ con los orígenes en el mismo punto
Desde el extremo de cada uno se dibuja una paralela al otro vector. Al final podremos ver un paralelogramo.
$\vec{c}$ será el vector que parte desde el origen común de $\vec{a}$ y $\vec{b}$ a través de la diagonal del paralelogramo.

Suma de vectores, método del paralelogramo

Puedes utilizar esta simulación para visualizar dinámicamente la suma de vectores y los métodos señalados.

Representación analítica

La suma de dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ , da como resultado otro vector $\vec{c}$ cuyas componentes son la suma de las respectivas componentes de $\vec{a}$ y $\vec{b}$ .

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (a_{x}, a_{y}) + (b_{x}, b_{y}) = (a_{x} + b_{x}, a_{y} b_{y})$

O bien...

$\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = a_{x} \cdot \vec{i} + a_{y} \cdot \vec{j} + b_{x} \cdot \vec{i} + b_{y} \cdot \vec{j} = (a_{x} + b_{x}) \cdot \vec{i} + (a_{y} + b_{y}) \cdot \vec{j}$

Ejemplo

$\begin{matrix} \vec{a} = (3, 2) \\ \vec{b} = (- 1, 2) \end{matrix} \Rightarrow \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (3 + (- 1), 2 + 2) = (2, 4)$

La resta de vectores en un caso particular de la suma, en el que se suma el primer vector, con el opuesto del segundo. Recuerda que se llama opuesto de un vector $\vec{a}$ a otro vector en la que sus componentes tienen el signo contrario a las del dicho vector.

$\vec{a'} = - \vec{a} = (- a_{x}) \cdot \vec{i} + (- a_{y}) \cdot \vec{j}$

Ejemplo

Dados los siguientes vectores:

Calcula en el siguiente orden:

a) La representación gráfica de la suma de ambos vectores.
b) La representación analítica de la suma de ambos vectores.
c) La representación analítica del opuesto del vector u
d) ¿El módulo de la suma de dos vectores es igual a la suma de los módulos de cada vector individualmente?

Ver solución

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

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