Enunciado

dificultad

Representa y analiza las siguientes funciones:

Solución

Resolución

La primera y la tercera rama son funciones constantes, la segunda una función lineal. Comenzamos con 3 tablas de valores, una para cada rama. Recuerda que la taba de cada rama siempre debe incluir el valor del extremo o de los extremos de la misma.

Rama 1: y=3
x y
-3 3
0 (extremo abierto <) 3 (punto transparente)
Rama 2: y=3-x
x y
0 (extremo cerrado ≤) 3 (punto sólido)
2 1
6 (extremo abierto <) -3 (punto transparente)
Rama 3: y=-3
x y
6 (extremo abierto >) -3 (punto transparente)
7 -3

A partir de los datos de estas tres tablas, hacemos la representación gráfica:

Obseva, en la gráfica anterior, que hemos utilizado un color distinto para cada rama. Observa también lo que ocurre en x=0 y en x=6. Son los extremos de las ramas. En x=0 la primera rama no tiene incluido el punto, pero si lo tiene la segunda, con lo que ese punto se podría representar con un trazo continuo. En x=6 ambas ramas presentan el extremo abierto, con lo que el punto no está incluido. La siguiente gráfica sería la representación final:

En cuanto al estudio de esta primera función, tenemos:

  • Dominio:
  • Recorrido:
  • Ceros: x=3
  • Signo
    • Intervalos de signo positivo:
    • Intervalos de signo negativo:
  • Monotonía: La función es decreciente en todo su dominio, esto es, Observa que el único intervalo estrictamente decreciente es .
    • Máximos y mínimos: ∄
  • Curvatura: La función es lineal en todos sus tramos. Las funciones lineales son cóncavas o convexas, pues cumplen ambas condiciones. No existen puntos de inflexión, pues la curvatura es siempre la misma en todo el dominio.
  • Acotación: La función está acotada superior e inferiormente.
    • Supremo: y=3
    • Ínfimo: y=-3
  • Simetría: La función no es simétrica respecto al eje y ni respecto al origen
  • Periodicidad: La función no es periódica

Ambas ramas son parábolas. Seguimos el mismo procedimiento, tabla de valores y gráfica. En este caso, buscaremos el vértice de cada parábola, a fin de ayudarnos en su representación. Ten presente que dicho vértice no tiene por qué estar necesariamente en la rama.

Rama 1: y=x2-2x+2
x y
0 2
1 (extremo abierto <) 1 (punto transparente)
xv=-(-2)/(2·1)=1 yv=f(xv)=1

Como puedes observar en la tabla anterior, en esta primera rama coincide el vértice con el extremo de la rama.

Rama 2: y=-x2+2
x y
1 (extremo cerrado ≥) 1 (punto sólido)
2 -2
xv=0 yv=f(xv)=2

En esta segunda tabla el vértice queda fuera del rango de la rama ( x=0 no pertenece al subconjunto x≥1 para el cual está definida). Ahora ya estamos en condiciones de hacer la representación gráfica:

Y en cuanto a las características de la función:

  • Dominio:
  • Recorrido:
  • Ceros: Se observa en la gráfica que se produce en la segunda rama, con lo que (hemos eliminado la raíz negativa por no encontrarse en la segunda rama)
  • Signo
    • Intervalos de signo positivo:
    • Intervalos de signo negativo:
  • Monotonía: La función es estrictamente decreciente en todo su dominio.
    • Máximos y mínimos: ∄
  • Curvatura: Tal y como hemos visto en el apartado asociado, si imaginas la recta tangente tenemos que la primera rama es convexa y la segunda es cóncava, con lo que:
    • Concavidad:
    • Convexidad:
    • Puntos de inflexión: x=1
  • Acotación: La función no está acotada, con lo que no tiene supremo ni ínfimo
  • Simetría: La función no es simétrica respecto al eje y ni respecto al origen
  • Periodicidad: La función no es periódica

En este caso se trata de una función racional para la primera y la tercera rama, y un valor constante para la segunda rama, que es un único punto. Veamos las tablas de valores para la primera y la tercera rama:

Rama 1: y=1/x
x y
-3 -1/3
-2 -1/2
-1 -1
-0.5 -2
0 ∄
Rama 2: y=1/x
x y
0 ∄
0.5 2
1 1
2 1/2
3 1/3

Vemos que la función racional no está definida en el cambio de rama que hay en x=0. Se trata del valor que anula el denominador de 1/x. En cualquier caso nos hemos asegurado de dar valores suficientes para hacer la representación.

Y en cuanto a las características de la función:

  • Dominio:
  • Recorrido:
  • Ceros: El único cero es x=0
  • Signo
    • Intervalos de signo positivo:
    • Intervalos de signo negativo:
  • Monotonía: La función es decreciente en
    • Máximos y mínimos: ∄
  • Curvatura:
    • Concavidad:
    • Convexidad:
    • Puntos de inflexión: ∄. Aunque a la izquierda de x=0 la función es cóncava y a la derecha es convexa, la función no es continua en x=0 y por tanto no pasa de cóncava a convexa ni de convexa a cóncava en ese punto
  • Acotación: La función no está acotada, con lo que no tiene supremo ni ínfimo
  • Simetría: La función es simétrica respecto al origen pues f(-x)=-f(x)
  • Periodicidad: La función no es periódica

Se trata de dos ramas lineales, con la particularidad en este caso de tener cada una subdominios acotados. Vamos a las tablas de valores:

Rama 1: y=x+4
x y
-3 (extremo cerrado ≤) 1 (punto sólido)
-2 2
-1 (extremo cerrado ≤) 3 (punto sólido)
Rama 1: y=x-4
x y
1 (extremo cerrado ≤) -3 (punto sólido)
2 -2
3 (extremo cerrado ≤) -1 (punto sólido)

Que sobre los ejes coordinados queda:

Podemos describir la función con los siguientes parámetros:

 

  • Dominio:
  • Recorrido:
  • Ceros: ∄
  • Signo
    • Intervalos de signo positivo:
    • Intervalos de signo negativo:
  • Monotonía: La función es creciente en
    • Máximos:
      • Absoluto: Max1=(-1, 3)
      • Relativo: max1=(3, -1)
    • Mínimos:
      • Absoluto: Min1=(1, -3)
      • Relativo: min1=(-3, 1)
  • Curvatura: La dos ramas de la función son lineales, que cumplen tanto la definición de concavidad como la de convexidad. No hay puntos de inflexión.
  • Acotación: La función está acotada superior e inferiormente
    • Supremo: y=3
    • Ínfimo: y=-3
  • Simetría: La función es simétrica respecto al origen pues f(-x)=-f(x)
  • Periodicidad: La función no es periódica