Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano en los que la distancia a un recta llamada directriz es igual a la distancia a un punto fijo (que no pertenece a la directriz) llamado foco. ¿Esta definición te resulta complicada? No te preocupes, observa la siguiente imagen.

Parábola vertical

Parábola

A la izquierda, en rojo, puedes ver la forma de una parábola en el plano. Cualquier punto de la misma, como el punto A, dista igual distancia del foco que de la recta directriz. Tu día a día está lleno de situaciones en las que aparecen parábolas. Por ejemplo, a la derecha puedes ver la trayectoria de una pelota cuando la lanzas oblicuamente. Como ves, es una parábola con las ramas hacia abajo.

Aunque no son las únicas, en este apartado nos centraremos en las parábolas verticales, como las de la figura. Probablemente ya estés familiarizado con ellas, aunque no te hayas dado cuenta aún...

Expresión matemática

La ecuación de una parábola vertical corresponde a un polinomio de segundo grado:

y=a·x2+b·x+c

Donde a, b y c son constantes.

Ecuación Valores a,b,c
y=3x2-x+2 a=3 ; b= -1 ; c = 2
y=x2+2x a=1 ; b= 2 ; c = 0
y=-x2+2 a=-1 ; b= 0 ; c = 2

Representación gráfica

A partir de la expresión anterior, puedes ir dando valores a la x para ir obteniendo los valores de y correspondientes, y así obtener una seria de puntos (x,y) que puedas representar en el plano. Para ayudar a tu representación puedes tener en cuenta lo siguiente:

Ramas

  • Si a>0 las ramas de la parábola están hacia arriba
  • Si a<0 las ramas de la parábola están hacia abajo

Vértice

La coordenada x del vértice, xv, se calcula según:

xv=-b2a

La coordenada y del vértice, yv, se calcula sustituyendo la xv en la expresión de la parábola:

yv=axv2+bxv+c

  • El vértice de la parábola es el menor valor de y si las ramas están hacia arriba (a>0)
  • El vértice de la parábola es el mayor valor de y si las ramas están hacia abajo (a<0)

Corte con el eje y

Una parábola tiene un punto de corte con el eje y. Este punto (xcy,ycy) siempre cumple que su coordenada x es cero, es decir, xcy=0. Por tanto, para encontrarlo hacemos la x 0 y vemos el valor de y en la expresión:

ycy=a·02+b·0+c=c

Efectivamente, el punto de corte con el eje y siempre es (0,c).

Corte con el eje x

Una parábola puede cortar al eje x en dos puntos, en un punto o en ningún punto. Los puntos de corte de la parábola con el eje x, (xcx,ycx), siempre cumplen que sus coordenadas y valen cero, es decir, (xcy,0). Para calcular la coordenada xcx sustituimos la y por cero en la expresión de la parábola y resolvemos la ecuación de segunda grado que nos queda.

y=ax2+bx+c0=ax2+bx+c

  • Si la ecuación tiene dos soluciones xcx1 y xcx2, existen dos puntos de corte: (xcx1,0) y (xcx2,0)
  • Si la ecuación tiene una sola solución xcx1, existe un único punto de corte (coincidirá con el vértice): (xcx1,0)
  • Si la ecuación no tiene solución entonces la parábola no corta al eje x en ningún punto
Representación de dos parábolas con sus puntos más notables y las ramas hacia arriba y hacia abajo respectivamente

Representación gráfica de parábolas

En 1, parábola con las ramas hacia arriba. En ella el vértice es el punto mínimo. A la derecha otra parábola con las ramas hacia abajo. Observa que esta última no presenta punto de corte alguno con el eje x

Parábola simétrica respecto al eje y

Cuando en la expresión general b=0 la parábola es simétrica respecto al eje y. En estos casos la parábola puede expresarse tal y como aparece en la siguiente tabla. En ella podemos distinguir dos constantes importates:

  • La constante a, que determina la amplitud de la parábola.
  • Y la constante y0 que es la ordenada en el origen, es decir, donde la parábola corta al eje y. 
Fórmula Representación


y=ax2+y0

Experimenta y Aprende
 
Datos
Ecuación de una parábola

Mueve los deslizadores para cambiar el valor de a e y0 y observa que ocurre con la parábola

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Una parabola indefinida

dificultad

Dada la siguente ecuación de una parábola,

y = a·x2 + 5

a) Calcula el valor de a, sabiendo que dicha parábola pasa por el punto (2,1).

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Ecuación de una Parábola Vertical. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Ecuación de parábola vertical

y=a·x2+b·x+c

Coordenada x del vértice de una parábola

xv=-b2·a

Ficha de apartados relacionados

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