Recorrido de una Función

Una función es una relación entre dos conjuntos, en la que a cada valor del primer conjunto, denominado dominio, le corresponde un único valor del segundo, denominado recorrido o conjunto imagen.

Recorrido en funciones reales

El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la función cuando se aplica sobre los elementos del dominio. En una función real de variable real estos valores son números reales.

Aunque ya hemos estudiado este concepto en apartados anteriores, en este vamos a profundizar en su estudio para el caso de las funciones reales, y aprenderemos a calcularlo. Lo haremos a través de los siguientes puntos:

Definición
Cálculo del recorrido

¿Empezamos nuestro recorrido?

Definición

El recorrido de una función real, también llamado conjunto imagen o simplemente imagen de la misma, es el conjunto de valores que toma la propia función, es decir, el conjunto de valores que se obtienen como salida al aplicar la función sobre los elementos del dominio:

R e c_{f} = \{y \in ℝ / \exists x \in D o m_{f} con f (x) = y\}

Donde:

Rec_f : Es el recorrido de la función. También se puede denotar Rec(f), Im_f o Im(f). Puede ser todo el conjunto de los números reales, o bien un subconjunto de este: $R e c_{f} \subseteq ℝ$
x : Es un número real, perteneciente al dominio de la función, que recibe el nombre de variable independiente
y: Es otro número real, perteneciente al conjunto imagen de la función, que recibe el nombre de variable dependiente. Su valor se obtiene aplicando la función f al valor de x : y=f(x) . Para un par de valores concretos (x,y) decimos que y es la imagen de x, y que x es la antiimagen de y

Recuerda el significado de los siguientes símbolos:

∃ existe un
∀ para todo
∈ pertenece a
/ tal que
⊂ subconjunto de
⊆ subconjunto o igual a

Observa que al recorrido también se le llama imagen (de la función, se sobreentiende). No debes confundir este conjunto imagen, con la imagen de un elemento concreto del dominio. Así decimos que la imagen de la función f(x)=x+2 es el conjunto de los reales (Rec(f)=ℝ); por otro lado, también decimos que el 5 es la imagen del 2 (y=f(3)=5) o que el -3 es la imagen del -5 ((y=f(-5)=-3)). El contexto te dejará claro si nos referimos a la imagen de la función o a la de un elemento.

Tampoco debes confundir el recorrido de una función con el codominio. Recuerda que este último es el conjunto de valores que podría tomar la salida, frente al recorrido que es el conjunto de valores que realmente toma. En las funciones reales de variable real tanto el dominio, como el codominio, como el conjunto imagen son números reales ( Dom_f⊆ℝ, Cod_f⊆ℝ, Rec_f⊆ℝ ). Visita el apartado de funciones matemáticas si necesitas aclarar estas ideas.

Cómo calcular el recorrido

A diferencia de lo que ocurría con el dominio, no vamos a tener un método que podamos aplicar de manera general para el cálculo del recorrido. En este punto vamos a centrarnos en estudiar dos procedimientos:

El que podemos seguir cuando la función está definida gráficamente
El que podemos seguir cuando la función tiene inversa

Finalmente estudiaremos el dominio de algunas funciones concretas que son muy representativas.

Función definida graficamente

Si encuentras una función expresada gráficamente puedes calcular su recorrido proyectándola sobre el eje de ordenadas ( eje y ). Para ello puedes imaginar que iluminas con una luz desde la propia función hacia el eje y. Las zonas que reciben luz del eje corresponden a los valores del recorrido. Las siguientes convenciones en la representación gráfica de funciones son útiles para el cálculo del recorrido:

Un punto sólido indica que el mismo forma parte de la gráfica
Un punto transparente indica que el mismo no forma parte de la gráfica
Una línea horizontal punteada a la que se aproxima la función, sin tocarla, por arriba o por abajo, representa una asíntota horizontal. El valor de y de la asíntota no es alcanzado por la función
Si el extremo de una gráfica, derecho o izquierdo, no incluye ningún punto como los anteriores, se supone que la gráfica continuaría con la misma tendencia en ese extremo

Ejemplo:

Recorrido de una función definida graficamente

Recorrido a partir de gráfica

En la ilustración aparece, en rojo, una función definida gráficamente con distintas ramas. Para calcular el recorrido, primeramente proyectamos sobre el eje y la función. Las áreas rayadas horizontales corresponden a dicha proyección. Los puntos que pueden presentar dudas se han marcado sobre el eje y desde y₁ a y₅.

A partir de la gráfica anterior repasamos, de abajo hacia arriba, los valores del eje y para determinar el recorrido. Así, nos queda:

$R e c_{f} = [y_{1}, y_{3}] \cup (y_{4}, y_{5}) \cup (y_{5}, \infty) = [y_{1}, y_{3}] \cup (y_{4}, \infty) - \{y_{5}\}$

Veamos en detalle el proceso que hemos seguido, una vez proyectada la función sobre el eje y :

En primer lugar tenemos que determinar el extremo inferior del recorrido. Lo hacemos buscando el valor más bajo de y en la gráfica. Se observa claramente que el extremo izquierdo de la misma presenta un punto sólido, que corresponde a y₁, que es el valor que buscamos
Si seguimos hacia arriba en el eje nos encontramos con el valor y₂. En dicho valor se presenta un punto blanco en la rama izquierda de la función. En cualquier caso, y₂ debe estar incluido en el recorrido, ya que se observa que la rama izquierda "pasa por y₂ previamente"
Así llegamos a y₃, valor incluido en el recorrido
Continuando hacia arriba en el eje y nos damos cuenta que no hay valores de la gráfica proyectados hasta y₄. Vemos que se trata de una asíntota horizontal: la función se aproxima a él a medida que crece la x, pero nunca lo alcanza. Por tanto comenzamos un nuevo intervalo en el recorrido (y₄,??)
Siguiendo con la proyección podemos encontrar el siguiente punto problemático: y₅, que no debe ser incluido en el recorrido. Podemos indicarlo cerrando el intervalo anterior y abriendo uno nuevo (y₄,y₅)∪(y₅,??), o bien quitándolo explícitamente del recorrido mediante -{y₅}
...Y así llegamos al extremo superior del eje, que tiene los valores proyectados de la gráfica hasta +∞

Función con inversa

El dominio de la función inversa es el recorrido de la función original. Como veremos en el apartado dedicado, solo las funciones inyectivas tienen inversa. Con estas dos ideas, podemos seguir el siguiente procedimiento para calcular el recorrido de una función inyectiva:

Hacemos f(x)=y
Intercambiamos x e y
Despejamos y en función de x. Esta función obtenida es la inversa de la original
Estudiamos el dominio de la nueva función inversa. Dicho conjunto es el recorrido de la función original

Recorrido de funciones habituales

Función constante

*Expresión general*	*Rec_f*	*Ejemplo*
$f (x) = k$	Rec_f=k	$f (x) = 3 R e c_{f} = \{3\}$

Función constante

La función constante es un polinomio de grado 0 en el que el valor de f(x) es siempre el mismo y por tanto todos los elementos del dominio tienen igual imagen. Cuando k es positivo la gráfica de la función constante queda por encima del eje x (recta roja); cuando k es negativo la gráfica queda debajo del eje x (recta verde).

Función polinómica de grado impar

*Expresión general*	*Rec_f*	*Ejemplo*
$f (x) = c_{0} + c_{1} \cdot x + c_{2} \cdot x^{2} + \dots + c_{n} \cdot x^{n} Con n impar$	Rec_f=ℝ	$f (x) = x - 2 \Rightarrow R e c_{f} = ℝ g (x) = x^{5} + 2 x^{2} \Rightarrow R e c_{g} = ℝ$

Recorrido en polinomios de grado impar

El grado de un polinomio viene determinado por el exponente máximo al que está elevada la x. Cuando dicho valor es impar, el recorrido es el conjunto de los números reales. En la imagen tenemos dos ejemplos clásicos: una recta, a la izquierda, que corresponde con un polinomio de grado uno, y una función cúbica a la derecha, que corresponde con un polinomio de grado 3.

Función polinómica de grado par

Expresión general

Rec_f

Ejemplo

f (x) = c_{0} + c_{1} \cdot x + c_{2} \cdot x^{2} + \dots + c_{n} \cdot x^{n} Con n par

Si c_n>0 : $R e c_{f} = [y_{m i n (f)}, \infty)$

Si c_n<0 : $R e c_{f} = (- \infty, y_{m a x (f)}]$

f (x) = x^{2} + 2 \Rightarrow R e c_{f} = [2, \infty) g (x) = - x^{2} - 2 \Rightarrow R e c_{g} = (- \infty, - 2]

El recorrido en los polinomios de índice par depende del coeficiente que acompaña a la x de mayor grado ( c_n ). Cuando c_n es positivo, las ramas de la función están hacia arriba, y el recorrido abarca desde el valor mínimo de la función ( y_min(f) ) hasta el infinito. Cuando es negativo c_n, las ramas están hacia abajo, y el recorrido abarca desde menos infinito hasta el valor máximo de la función (y_max(f)).

En apartados posteriores aprenderemos a calcular máximos y mínimos de funciones cualesquiera. De momento nos centramos el caso de la parábola, en el que el máximo (o el mínimo) está marcado por su vértice.

Recorrido en polinomios de grado par

La parábola es un polinomio de segundo grado con expresión y=a·x²+b·x+c. Cuando a>0 el vértice de la parábola es el mínimo de la función (ilustración izquierda). Cuando a<0 el vertíce es el máximo. Por tanto el recorrido en el caso de 1 viene dado por Rec_f=[y_v,∞). En el caso de 2 será Rec_f=(-∞,y_v].

Recuerda que para calcular la coordenada x del vértice, aplicamos x_v=-b/2a. Para calcular la coordenada y, sustituimos la coordenada x en la expresión de la parábola: y_v=a·x_v²+b·x_v+c.

Función racional 1/x

*Expresión*	*Rec_f*
$f (x) = \frac{1}{x}$	$R e c_{f} = ℝ - \{0\}$

Función 1/x

La función racional más sencilla es en la forma 1/x. En la imagen de la izquierda puedes comprobar que la y nunca toma el valor 0. Se debe a que y=0 es una asíntota horizontal. De ahí que la imagen de la función sea justamente Rec_f=ℝ-{0}.

Por extensión, y aplicando operaciones de funciones puedes darte cuenta que el recorrido de las funciones en la forma $f (x) = \frac{k}{c \cdot x - a} + b$ es $R e c_{f} = ℝ - \{b\}$ .

Función raíz impar de x

*Expresión general*	*Rec_f*	*Ejemplo*
$f (x) = \sqrt[n]{x} Con n impar$	$R e c_{f} = ℝ$	$f (x) = \sqrt[3]{x} \Rightarrow R e c_{f} = ℝ g (x) = \sqrt[53]{x} \Rightarrow R e c_{g} = ℝ$

Función raíz cúbica de x

La función irracional de índice impar más sencilla es la raíz cúbica de x. Cualquier función raíz de índice impar de un polinomio de grado 1 tiene como recorrido el conjunto de los números reales, Rec_f=ℝ, como se pone de manifiesto en la gráfica de la figura.

Por extensión, y aplicando operaciones de funciones puedes darte cuenta que el recorrido de las funciones en la forma $f (x) = \sqrt[n]{c \cdot x + a} + b$ , con n impar, es Rec_f=ℝ.

Función raíz par de x

*Expresión general*	*Rec_f*	*Ejemplo*
$f (x) = \sqrt[n]{x} Con n par$	$R e c_{f} = [0, \infty)$	$f (x) = \sqrt{x} \Rightarrow R e c_{f} = [0, \infty) g (x) = \sqrt[54]{x} \Rightarrow R e c_{g} = [0, \infty)$

Función raíz cuadrada de x

La función irracional de índice par más sencilla es la raíz cuadrada de x. Cualquier función raíz de índice par de un polinomio de grado 1 tiene como recorrido el conjunto de los números reales positivos, Rec_f=[0,∞), como se pone de manifiesto en la gráfica de la figura.

Por extensión, y aplicando operaciones de funciones puedes darte cuenta que el recorrido de las funciones en la forma $f (x) = \sqrt[n]{c \cdot x + a} + b$ , con n par, es Rec_f=[b,∞).

Función exponencial de x

*Expresión*	*Rec_f*
$f (x) = e^{x}$	$R e c_{f} = (0, \infty)$

Función e^x

La función exponencial más sencilla es en la forma e^x. En la imagen de la izquierda puedes comprobar que la y nunca toma el valores por debajo de la asíntota horizontal, en y=0. De ahí que la imagen de la función sean justamente los reales positivos Rec_f=(0,∞).

Por extensión, y aplicando operaciones de funciones puedes darte cuenta que el recorrido de las funciones en la forma $f (x) = a^{c \cdot x + k} + b$ , con la base a>0, es $R e c_{f} = (b, \infty)$ .

Función logaritmo en base b de P(x)

Expresión general

Rec_f

Ejemplo

$f (x) = \log_{b} (P (x))$

Con P(x) polinomio impar

R e c_{f} = ℝ

f (x) = \log_{10} (x) = \log (x) \Rightarrow R e c_{f} = ℝ g (x) = \log_{e} (x) = \ln (x) \Rightarrow R e c_{f} = ℝ h (x) = \log_{2} (x^{3} + 2 x) \Rightarrow R e c_{f} = ℝ

Si P(x) fuese un polinomio de grado par, el estudio del recorrido sería más complicado. Tendríamos que estudiar asíntotas verticales, extremos, etc.

Función logaritmo neperiano de x

En la ilustración, la función logaritmo neperiano, que es un logaritmo cuya base es el número e. El recorrido es el conjunto de los números reales, como en cualquier otra función logarítmica cuyo argumento es un polinomio (recuerda que P(x)=x es un polinomio de grado 1).

Funciones seno y coseno de P(x)

*Expresión*	*Rec_f*	*Ejemplo*
$f (x) = \sin (P (x)) ó f (x) = \cos (P (x))$	$R e c_{f} = [- 1, 1]$	$f (x) = \sin (x) \Rightarrow R e c_{f} = [- 1, 1] g (x) = \cos (x) \Rightarrow R e c_{g} = [- 1, 1] h (x) = \cos (x^{3} + 2) \Rightarrow R e c_{h} = [- 1, 1]$

Funciones seno y coseno de x

A la izquierda, la función seno de x. A la derecha, la función coseno de x. Observa que el seno y el coseno de cualquier valor siempre oscilan entre -1 y 1, de ahí que el recorrido de estas funciones esté siempre en dicho intervalo, aún cuando en lugar de x tienes cualquier otro polinomio.

Por extensión, y aplicando operaciones de funciones, puedes darte cuenta que el recorrido de las funciones en la forma $f (x) = A \cdot \sin (P (x)) + k$ , ó $f (x) = A \cdot \cos (P (x)) + k$ , es $R e c_{f} = [k - A, k + A]$ .

Funciones tangente y cotangente de P(x)

*Expresión*	*Rec_f*	*Ejemplo*
$f (x) = \tan (P (x)) ó f (x) = \cot (P (x))$	$R e c_{f} = ℝ$	$f (x) = \tan (x) \Rightarrow R e c_{f} = ℝ g (x) = \cot (x) \Rightarrow R e c_{g} = (- \infty, \infty) h (x) = \cot (x^{3} + 2) \Rightarrow R e c_{h} = ℝ$

Recorrido en funciones tangente y cotangente

Funciones tangente y cotangente de x

A la izquierda, la función tangente de x. A la derecha, la función cotangente de x. El recorrido de ambas es el conjunto de los números reales. Cuando en lugar de x tienes cualquier otro polinomio, el recorrido también es el conjunto de los números reales.

Por extensión, y aplicando operaciones de funciones, puedes darte cuenta que el recorrido de las funciones en la forma $f (x) = A \cdot \tan (P (x)) + k$ , ó $f (x) = A \cdot \cot (P (x)) + k$ , es también $R e c_{f} = ℝ$ .

Recuerda, la tangente y la cotangente se pueden relacionar con el seno y el coseno: tan(x)=sin(x)/cos(x) y cot(x)=1/tan(x)=cos(x)/sin(x).

Cosecante y secante de P(x)

*Expresión*	*Rec_f*	*Ejemplo*
$f (x) = \csc (P (x)) ó f (x) = \sec (P (x))$	$R e c_{f} = (- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$	$f (x) = \csc (x) \Rightarrow R e c_{f} = (- \infty, - 1] \cup [1, \infty) g (x) = \sec (x) \Rightarrow R e c_{g} = (- \infty, - 1] \cup [1, \infty) h (x) = \sec (x^{3} + 2) \Rightarrow R e c_{h} = (- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Recorrido en funciones cosecante y secante

Funciones cosecante y secante de x

A la izquierda, la función cosecante de x. A la derecha, la función secante de x. El recorrido de ambas es el mismo: $R e c_{f} = (- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$ . Cuando en lugar de x tienes cualquier otro polinomio, el recorrido es el mismo.

Por extensión, y aplicando operaciones de funciones, puedes darte cuenta que el recorrido de las funciones en la forma $f (x) = A \cdot \csc (P (x)) + k$ , ó $f (x) = A \cdot \sec (P (x)) + k$ , será $R e c_{f} = (- \infty, k - A] \cup [k + A, \infty)$ .

Recuerda, podemos relacionar la cosecante con el seno y la secante con el coseno: csc(x)=1/sin(x) y sec(x)=1/cos(x).

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

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