¿Qué son las Potencias?

Las potencias son una forma de abreviar una sucesión de multiplicaciones de un mismo número por sí mismo que se representa como xy, por ejemplo:

2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16

Se denomina:

  • base. Al número que se multiplica (x) un determinado número de veces. En el ejemplo anterior la base sería el 2.
  • exponente. Al número de veces (y) que se multiplica la base. En nuestro caso sería el 4.

Así, podemos sustituir 2 · 2 · 2· 2 por 2 y se leería 2 elevado a 4.

A continuación mostramos algunos ejemplos de como nombraríamos las potencias:

  • 57. 5 elevado a 7
  • 92. 9 elevado a 2 o también, 9 elevado al cuadrado.
  • 53. 5 elevado a 3 o también, 5 elevado al cubo.
  • 41. 4 elevado a 1.

Como podemos deducir de los ejemplos anteriores, cuando el exponente es 2 o 3 pueden leerse de una forma especial:

  • Si el exponente es el número 2, podemos llamarle cuadrado.
  • Si el exponente es el número 3, podemos nombrarlo como cubo.

Llamamos potencias de exponente entero a aquellas potencias en las que el exponente es un número entero, es decir, pueden ser positivos, negativos o el cero y no tienen parte decimal.

Signo de las Potencias

El signo del resultado de una potencia depende de si el exponente es un número par o impar y si la base es positiva (+) o negativa (-). Si realizamos las 4 combinaciones posibles obtenemos la siguiente tabla:

Signo de las Potencias
Esquema Ejemplo
(+)par = + 32 = 3 · 3 = 9 ( signo +)
(+)impar = + 33 = 3 · 3 · 3 = 27 ( signo + )
(-)par = + -32 = -3 · -3 = 9 ( signo + )
(-)impar =  - -33 =  -3 · -3 · -3 = -27 (signo -) 

Como podemos observar en la tabla, el resultado de cualquier potencia siempre será positivo salvo que la base sea negativa y el exponente impar.

Propiedades de las Potencias de Exponente Entero

A continuación mostramos algunas de las operaciones básicas que se pueden realizar con las potencias.

Potencia con exponente 0

Cualquier número elevado a 0 da es igual a 1 (la unidad)

x0= 1

Ejemplo.

50= 1

Potencia con exponente 1

Cualquier número elevado a la unidad (1) da como resultado  ese mismo número

x1= x

Ejemplo.

51= 5

Potencias de Potencias

Una potencia elevada a otra potencia es igual a otra potencia que:

  • tiene la misma base
  • el exponente es el producto de los 2 exponentes.

xnm=xn·m

Ejemplo.

(23)2 = 23·2= 26 = 64

Producto de Potencias con la misma base

El producto de dos potencias que tienen la misma base da como resultado otra potencia que:

  • tiene la misma base
  • y su exponente es la suma de los exponentes de ambas potencias 

xn·xm=xn+m

Ejemplo.

23 · 22= 23+2= 25 = 32

Producto de Potencias con distinta base y el mismo exponente

El producto de dos potencias que no tienen la misma base aunque si el mismo exponente de como resultado otra potencia cuya:

  • base es el producto de las bases de ambas potencias.
  • el exponente es el mismo que el de ambas potencias.

Ejemplo.

22· 32 = (2 · 3)2 = 62= 36 

División de Potencias con la misma base

La división de dos potencias con la misma base da como resultado otra potencia que:

  • tiene la misma base que las dos anteriores
  • y su exponente es la resta de los exponentes de ambas potencias.


xnxm=xn-m

1xm=x-m

Ejemplo.

2422 = 24-2= 22122 = 2-2

División de Potencias con distinta base y el mismo exponente

La división entre dos potencias que no poseen la misma base y sus exponente son iguales, da como resultado otra potencia cuya:

  • base es la división de las bases de ambas potencias
  • el exponente es el mismo que el de ambas potencias

Ejemplo.

4323= 423= 23 = 8

De todo lo visto anteriormente podemos obtener la siguiente tabla resumen:

Propiedades de las Potencias
Propiedad Expresión Ejemplo
Potencias de Potencias

xnm=xn·m

(23)2 = 23·2= 26 = 64
Producto de Potencias con la misma base

xn·xm=xn+m

23 · 22= 23+2= 25 = 32
Producto de Potencias con distinta Base y el mismo exponente
xn·yn = (x·y)n
22· 32 = (2 · 3)2 = 62= 36 
División de Potencias
con la misma base


xnxm=xn-m

1xm=x-m

2422 = 24-2= 22122 = 2-2
División de Potencias con distinta base y el mismo exponente
xnyn = xyn
4323= 423= 23 = 8
Potencia con exponente 0
x0= 1
50= 1
Potencia con exponente 1
x1= x
51= 5

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Producto de potencias con distinta base y el mismo exponente

dificultad

Calcula el resultado de las siguientes potencias:

a) 73 · 23 · 33
b) 22 · (-2)2
c) 52 · 32 · 72 · 42
d) 110 · (-1)8 · (-1)2

Producto de potencias con la misma base

dificultad

Calcula el resultado de las siguientes potencias:

a) 24 · 2 · 22
b) 73 · 72
c) (-2)2 · (-2)7 · (-2)2
d) 43 · 45
e) (-3)0 · (-3)5 · (-3)2

Signos en las potencias

dificultad

Determina el signo que tendrán los resultados de las siguientes potencias, sin realizar el cálculo:

a) (-2)5        b) 52       c) (-1)8        d) (-4)3

División de potencias con distinta base y mismo exponente

dificultad

Calcula el resultado de las siguientes operaciones con potencias:

a) 10252

b) 18232

c) 4-22-2

d) 323-2 · 3-2 · 22

Potencias sobre potencias

dificultad

Calcula el resultado de las siguientes potencias

a) (72)1               b) ((-5)3)2               c) ((-2)2)2                d) ((-3)4)2

División de potencias con la misma base

dificultad

Calcula el resultado de las siguientes operaciones con potencias:

a) 2723· 3632

b) 132· 33

c) 9232

d) -4-2

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Potencias de Exponente Entero. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Potencia elevada a 0

x0= 1

Potencia elevada a 1

x1= x

Producto de Potencias

xn·xm=xn+m

Inversa de una Potencia

1xm=x-m

División de Potencias


xnxm=xn-m

Potencias Elevadas

xnm=xn·m

Ficha de apartados relacionados

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