A los ángulos de 30º, 45º y 60º (ó sus equivalentes en radianes π/6 rad, π/4 rad y π/3 rad) se les conoce como ángulos notables. Se llaman así porque aparecen muy a menudo en nuestra vida cotidiana, y resulta de gran utilidad aprender de memoria los valores de sus razones trigonométricas. De hecho, es posible calcular el valor de las razones de otros ángulos a partir de estas. En este apartado vamos a estudiar:
- Deducción de las razones de 30º y 60º (ó π/6 rad y π/3 rad respectivamente)
- Deducción de las razones de 45º (ó π/4 rad)
- Razones de otros ángulos notables
¿Preparado para triangularizar tu mente?
Recuerda que también puedes obtener el valor de las razones que vamos a estudiar mediante una calculadora. Simplemente introduce el ángulo deseado, en grados o radianes, y pulsa la tecla correspondiente
Cómo deducir razones de los ángulos de 30º y 60º
Si cogemos un triángulo equilatero ABC, que como recordarás tiene todos sus lados (l) y sus ángulos iguales (60º ó π/3 rad), y lo dividimos por la mitad obtendremos dos triángulos rectángulos.
Descomposición de un triángulo equilatero
Al dividir por su altura un triángulo equilátero ABC como el de la figura obtendremos un triángulo rectángulo en el que los vértices A y B tendrán 30º (ó π/6 rad) y 60º (ó π/3 rad) respectivamente.
Si conocemos el valor de los lados l, podemos calcular el valor de la altura por medio del teorema de Pitágoras:
A partir de esta figura y aplicando la definición de seno, coseno y tangente de cualquier ángulo agudo podemos obtener las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º (o sus equivalentes en radianes).
Razones trigonométricas de los ángulos de 60º
| Razones | Razones inversas |
|---|---|
Razones trigonométricas de los ángulos de 30º
| Razones | Razones inversas |
|---|---|
Cómo deducir razones de los ángulos de 45º
Para determinar las razones trigonométricas de un ángulo de 45º (o su equivalente π/4 rad) tomaremos un cuadrado de lado l y lo dividiremos por su diagonal provocando que aparezcan dos triángulos isósceles. Recuerda que un triángulo isósceles tiene dos ángulos de 45º y uno de 90º.
Descomposición de un cuadrado
Al dividir un cuadrado de lado l por su diagonal obtenemos dos triángulos isósceles cuya hipotenusa se puede obtener por medio del teorema de Pitágoras.
Razones trigonométricas de los ángulos de 45º
Si aplicamos las definiciones de las distintas razones trigonométricas sobre el anterior triángulo isósceles obtenemos que:
| Razones | Razones inversas |
|---|---|
Razones trigonométricas de ángulos notables
Además de las razones ya vistas, existen otros ángulos cuyas razones son igualmente importantes. Se trata de los ángulos de 90º (ó π/2 rad), 180º (ó π rad) y 270º (ó 3π/2 rad). Profundizaremos sobre estos valores cuando estudiemos las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Finalmente recuerda que las razones de 0º (0 rad) coinciden con las de 360º (ó 2π rad).
| 0º | 30º | 45º | 60º | 90º | 180º | 270º | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sen | |||||||
| cos | |||||||
| tg | |||||||
| cosec | |||||||
| sec | |||||||
| cotg |
Si observas la anterior tabla con atención puedes darte cuenta que para cualquier ángulo agudo se cumplen las siguientes ecuaciones: