Ejercicios Resueltos de Trigonometría

Ejercicios

Ángulos

Reducir radianes al primer giro

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Calcular la reducción al primer giro de los siguientes ángulos expresados en radianes:

a) 15π rad.
b) -7.2 rad.

Reducir al primer giro grados sexagesimales

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Calcular la reducción al primer giro de los siguientes ángulos:

a) 1236º.
b) -453º.

Transformar radianes a grados sexagesimales

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Transforma los siguientes ángulos en radianes a grados sexagesimales:

a) 4.6 rad.
b) -2.7 rad
c) 1.3 rad

Convertir grados sexagesimales a radianes

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Transforma los siguientes ángulos a radianes:

a) 40º 18' 36"
b) -120º 20' 13''
c) 75º 0º 20''

Tipos de ángulos

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Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

A partir de los siguientes ángulos...

Distintos ángulos para su clasificación
  1. Determina el tipo de todos ellos, según las distintas clasificaciones propuestas
  2. A partir las rectas que delimitan el ángulo α, ¿qué ángulo concavo le correspondería?¿y para el ángulo ε?
  3. A partir las rectas que delimitan el ángulo γ, ¿qué ángulo convexo le correspondería?¿y para el ángulo θ?
  4. ¿Cómo son los ángulos α y ε según su suma?
  5. Sea ε'=2·ε, ¿cómo son los ángulos ε' y α según su suma?
  6. ¿Cómo son los ángulos α y δ según su suma?
  7. Dibuja α en una disposición en la que aparezca con otros 3 ángulos opuestos por el vértice, indicando la amplitud de cada uno de ellos

Aplicación gráfica del concepto de radián

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Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Calcula la medida en radianes de cada uno de los ángulos de la figura.

Distintos arcos de circunferencia para medir en radianes

Aplicación de la definición de radián

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Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Resuelve las siguientes cuestiones, de manera razonada, aplicando el concepto de radián:

  1. Una circunferencia tiene una longitud de 5π cm. ¿Qué longitud mide el arco de circunferencia asociado a un ánglo de π/3 rad?
  2. Una circunferencia tiene un radio de 2m. ¿qué longitud mide el arco de circunferencia asociado a un ánglo de 30º?

Triángulos Semejantes

Altura de objetos a partir de vara y sombra

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Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Es posible determinar la altura de un objeto, sin medirlo directamente, a partir de la longitud de su sombra, y de una vara de longitud conocida. Para plantearte este ejercicio vamos a estudiar el enigma que los sacerdotes del antiguo Egipto formularon a Tales de Mileto:

¿Sabrías decir la altura de la pirámide de Keops?

Para descubrirla Tales midió la longitud de la sombra de la pirámide a una determinada hora del día, 55.3 m. Además, clavó en el suelo a esa misma hora su bastón, de 1.32m y vió que proyectaba una sombra de 0.5m. Con estos datos, ¿qué altura tenía la pirámide?

Teorema de Pitágoras

Saber si un triángulo es rectángulo

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Determina si un triángulo de lados 7, 8 y 9 cm es rectángulo. ¿Y uno de lados 5, 12 y 13 m?

Determinar lados triángulo rectángulo por Pitágoras

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Determina el lado desconocido en cada uno de los siguientes triángulos:

Triángulos para aplicar teorema de Pitágoras

Área y perímetro a partir de triángulos rectángulos

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Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Determina el área y el perímetro de la siguiente figura.

Calcular el área y el perímetro de la figura

Ten presente que la distancia entre los dos puntos señalados es de 2 cm.

Área de triángulo equilátero

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Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Determina el área del siguiente triángulo equilátero.

Triángulo equilátero para calcular altura

Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos

Razones trigonométricas a partir de la secante de un ángulo

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo α, sabiendo que sec α = 4.

Razones trigonométricas a partir de triángulos rectángulos

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Determina las razones indicadas en el ángulo α y β de los siguientes triángulos:

Dos triángulos rectángulos para calcular las razones de sus ángulos agudos

 

Identidad fundamental de la trigonometría

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Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Sabiendo que α es un ángulo agudo, completa la siguiente tabla:

sin(α) 0.32    
cos(α)   0.23  
tan(α)     1

Razones Trigonométricas de los Ángulos de 30º, 45º y 60º

Calcular a partir de las razones de 30º, 45º y 60º

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Conociendo las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º calcular las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

a) sen 1470º
b) cos 405º
c) tan 13π/3

Razones Trigonométricas de Cualquier Ángulo

Razones de un ángulo según su cuadrante

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

a) Calcular las razones trigonométricas de un ángulo α situado en el segundo cuadrante y cuyo cos α = -0.57

b) Repite el ejercicio suponiendo ahora que α está situado en el tercer cuadrante

Determinar ángulo a partir de su razón

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Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Utiliza la calculadora para determinar el ángulo alfa en cada uno de los siguientes casos:

  1. sin(α)=0.58 con α en primer cuadrante
  2. sin(α)=0.58 con α en segundo cuadrante
  3. cos(α)=-0,34 con α>180º
  4. tan(α)=1.5 con cos(α)<0

Identidades Trigonométricas

Cálculo de resta de cosenos

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Calcula cos 75º - cos 15º sin utilizar la calculadora.

Cálculo del producto de dos senos

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Calcula sin 52.5º · sin 7.5º sin utilizar la calculadora.

Cálculo de seno por coseno de un ángulo

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Calcula cos 45º · sin 15º sin utilizar la calculadora.

Cálculo de suma de cosenos

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Calcula cos 75º + cos 15º sin utilizar la calculadora.

Cálculo de cotangente sin calculadora

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

a) Calcula cotg 22º 30' sin utilizar la calculadora.

Seno, coseno y tangente sin utilizar calculadora (suma ángulos)

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Determina el seno, coseno y tangente de 105º sin utilizar la calculadora.

Seno, coseno y tangente sin utilizar calculadora (resta ángulos)

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Determina el seno, coseno y tangente de 15º sin utilizar la calculadora.

Cálculo de cosecante sin calculadora

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

a) Calcula cosec 120º sin utilizar la calculadora.

Aplicación identidades trigonométricas

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Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

De un ángulo 𝛼 se conoce que sin(𝛼)=0.57 y que π/2<𝛼<π. De otro ángulo 𝛽 se sabe que cos(𝛽)=-0.34 y que π <𝛽< 3π/2. Calcula, sin utilizar calculadora:

  1. cos(2𝛼)
  2. sin(𝛼/2)
  3. tan(𝛼+𝛽)

Teorema del Seno, Coseno y Tangente

Teorema de la tangente

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Dado el triángulo ABC de la figura determinar el valor de c y el de tg A-B2

Triángulo para resolver

Teorema del seno

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Dado un triángulo cualquiera, si sabemos que c = 50 cm, B^=60º y A^=60º determinar C, a y b.

Teorema del coseno

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Dos hombres recorren 10 km partiendo desde un mismo cruce y siguiendo dos caminos rectos en el mismo sentido que forman 30º entre ellos. ¿A qué distancia en línea recta se encontraran uno del otro al terminar la caminata?

Resolución de Triángulos

Cálculo de alturas a partir de ángulos de dos visuales

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Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Se quiere medir la altura de la palmera de la imagen. Para ello David, que tiene sus ojos a 1.75 m aproximadamente, se sitúa a cierta distancia de la palmera, y mide un ángulo de 58º al mirar a la cima de la misma. Luego se aleja 2m y mide un ángulo de 48.81º. ¿Cuál es la altura de la palmera?

Midiendo la altura de una palmera con trigonomería

Estrategia de la altura para resolver triángulos

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Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

Resuelve las dos situaciones siguientes aplicando la estrategia de la altura para la resolución de triángulos:

  1. Primera situación para resolver triángulos con estrategia de la altura

    Alba viaja en el coche azul de la figura, con un depósito de gasolina algo escaso. Cuando apenas le queda depósito para recorrer 31 km el policía de la figura le corta el paso, debido a un accidente, y lo redirige a una ruta alternativa. Determina, a partir de los siguientes datos, si Alba llegará a su destino antes de que se vacía su depósito:

    • Distancia agente-gasolinera: 30 km
    • Ángulo de desvío impuesto por el agente (marcado en naranja): Distancia agente-gasolinera: 40º
    • Ángulo de llegada al camino principal después del desvío (marcado en verde): 20º
  2. Observa la siguiente escena (tranquilo, no hemos tenido que maltratar a ningún ladrón para la fotografía):

    Segunda situación para resolver triángulos con estrategia de la altura

    Euclides, de negro, y René, de azul, intentan contener al dragón Albert a la vez que tratan de adivinar su altura. La cadena que sostiene René es de 7.7m y la que sostiene Euclides es de 5.7m. Además, Euclides sabe que el ángulo que forma la cadena con el suelo, marcado en naranja, es de 40º. ¿Podrías echarles una mano a nuestros intrépidos amigos con el asunto de la altura? Y ya que te aplicas... ¿podrías decirme qué distancia separa las dos piedras?

Resolución de triángulos rectángulos

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Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel avanzado

En los siguientes apartados describimos situaciones en las que deberás aplicar tus conocimientos de trigonometría. Resuelve los triángulos planteados.

  1. Juán tiene un problema en el cuello y no puede levantarlo un ángulo mayor de 30º. ¿Cuál será la distancia mínima a la que deberá situarse de la base de un edificio de 60m de alto para poder ver qué está pasando en la azotea? Ten presente que Juan va equipado con prismáticos.

  2. Una estación de emisión de ondas de alta frecuencia tiene una potencia tal que es capaz de conseguir que sus ondas se propaguen hasta 15km de distancia. El ángulo máximo de emisión, medido entre la propia torre de la emisora y la onda emitida es de 87º. ¿Será capaz un coche con receptor situado a 14.95 km de la horizontal de la torre de recibir la señal sin problemas?

Altura de torre con punto de observación bajo la misma

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Dificultad alta para los ejercicios de nivel avanzado

El bueno de Mario está intentando calcular la altura de la torre del castillo para poder saltar a ella. ¿Podrías echarle una mano a partir de las anotaciones que ha hecho?

Triángulos para cálculo de altura

Resolver paralelogramo a partir de diagonales

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Dificultad alta para los ejercicios de nivel experto

Las diagonales de un palalelogramo se cruzan formando un ángulo de 65º. Halla los lados y los ángulos del paralelogramo sabiendo que las diagonales miden 10 cm y 20 cm.

Ecuaciones Trigonométricas

Ecuación trigonométrica con resultado en grados sexagesimales

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica en grados sexagesimales.

cos x+15º =32

Ecuación trigonométrica en radianes

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel intermedio

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica en radianes.

sin 2x =2·cos x

Ecuación trigonométrica con seno

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Dificultad fácil para los ejercicios de nivel avanzado

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica en grados sexagesimales y radianes.

sin x = 12

Resolución de ecuaciones trigonométricas

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Dificultad intermedia para los ejercicios de nivel experto

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

  1. -2+cosα+cos2α=0
  2. sinα+cosα=1
  3. cos4α-π=-32
  4. cosβ-cos3β=0

Sistemas de ecuaciones trigonométricas

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Dificultad alta para los ejercicios de nivel avanzado

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones trigonométricas:

  1. 2sinx+3cosy=410sinx-20cosy=-15
  2. 2sin2x/2-2siny=122cosx+2cosy=12
  3. cosx-3=-sinytanx=coty

Transformaciones en ecuaciones trigonométricas

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Dificultad alta para los ejercicios de nivel avanzado

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas a través de las transformaciones que consideres oportundas:

  • sinx-cscx=-123
  • cosy-2tany1+tan2y=0
  • cos2α+sin2α2=1
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