Razones trigonométricas de cualquier ángulo

Para determinar las razones trigonométricas de cualquier tipo de ángulo utilizaremos una circunferencia goniométrica.

Circunferencia goniométrica

Circunferencia cuyo radio es la unidad y se encuentra centrada en el origen de un sistema de coordenadas. A cada uno de sus puntos P(x,y) les corresponden un único angulo α definido entre el semieje positivo de las abcisas y el segmento OP. Su intersección con los ejes de coordenas la divide en cuatro partes denominadas cuadrantes.

La utilización de una circunferencia goniométrica no es casual, ya que dado que el radio es la unidad:

$\sin α = \frac{y}{r} = y \cos α = \frac{x}{r} = x$

Por tanto, las razones trigonométricas de cualquier ángulo:

Razones	Razones inversas
$\sin α = y$	$csc α = \frac{1}{y}$
$\cos α = x$	$sec α = \frac{1}{x}$
$tg α = \frac{y}{x}$	$cotg α = \frac{x}{y}$

Experimenta y Aprende

Datos
P(0.71,0.71) | sin 45º = 0.71 | cos 45º = 0.71 | tg 45º = 1

Definición de seno, coseno y tangente

La figura muestra una circunferencia goniométrica y un punto P cualquiera de ella. Observa que a cada punto le corresponde un ángulo α formado entre el segmento OP y el semieje X positivo. Puedes cambiar el valor de α arrastrando el deslizador inferior. Comprueba que el sin α coincide con el valor de la coordenada y y el cos α con el valor de la coordenada x del punto P.

De una manera más gráfica, el cos α corresponde con la longitud de la proyección del punto sobre el eje x y el sin α sobre el eje y. Adicionalmente tg α corresponde con la proyección sobre la recta tangente en el punto (1,0). Estas longitudes se consideran positivas si las proyecciones se encuentran sobre los semiejes positivos y negativas si se encuentran sobre los semiejes negativos.

Propiedades de las razones trigonométricas de cualquier ángulo α

Dado que el seno y el coseno de cualquier ángulo α corresponden respectivamente con los valores y y x de la circunferencia goniométrica, sólo pueden tomar valores entre -1 y 1:

$\begin{matrix} - 1 \leq \sin α & \leq 1 \end{matrix}; \begin{matrix} - 1 \leq \cos α & \leq 1 \end{matrix}$

Además, si aplicamos el teorema de pitágoras se cumple que:

$x^{2} + y^{2} = 1^{2}$

Sustituyendo x e y obtenemos lo que se conoce como la identidad fundamental de la trigonometría:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

Signos de las razones trigonométricas por cuadrantes

Signos de las razones trigonométricas según cada cuadrante

α	0º	90º	180º	270º
sen	$0$	$1$	$0$	$- 1$
cos	$1$	$0$	$- 1$	$0$
tg	$0$	$\infty$	$0$	$- \infty$
cosec	$\infty$	$1$	$\infty$	$- 1$
sec	$1$	$\infty$	$- 1$	$\infty$
cotg	$\infty$	$1$	$\infty$	$0$

Ejemplo

a) Calcular las razones trigonométricas de un ángulo α situado en el segundo cuadrante y cuyo cos α = -0.57

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Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Razones de un ángulo según su cuadrante

dificultad

a) Calcular las razones trigonométricas de un ángulo α situado en el segundo cuadrante y cuyo cos α = -0.57

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Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Razones trigonométricas de cualquier ángulo. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

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Identidad fundamental de la trigonometría

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

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