Concepto de ángulo

Un ángulo en un plano es cualquiera de las dos regiones que quedan separadas por dos semirectas que poseen un origen común. Ambas semirrectas reciben el nombre de lados y el origen común el nombre de vértice

dos semirrectas definen dos áreas determinadas cada una de ellas por un ángulo
Definición de Ángulo

Si dibujas dos semirrectas (r y s) que parten de un mismo origen (O) provocarás la aparición de dos regiones que quedan determinadas cada una de ellas por un ángulo (α y β). Por normal general los ángulos se suelen representar como un arco entre los segmentos acompañado de una letra del alfabeto griego ( α, β, ...) o la letra del vértice con un acento circunflejo ( Ô )

Criterio de orientación de ángulos

Aunque te resulte algo extraño, los ángulos pueden representarse como ángulos positivos o ángulos negativos.  Dicho valor se obtiene dependiendo del sentido que se utlice al girar una de las dos semirrectas ( semirrecta origen ) sobre la otra ( semirrecta extremo ). De esta forma, 

  • Un ángulo es positivo si el giro de la semirrecta origen sobre la destino se realiza en sentido contrario de las agujas de un reloj analógico.
  • Un ángulo es negativo si el giro de la semirrecta origen sobre la destino se realiza en el sentido de las agujas de un reloj analógico.

2 imágenes que muestran un ángulo positivo (sentido contrario a las agujas del reloj) y un ángulo negativo (en el sentido de las agujas de reloj)

Ángulos positivos y negativos

El ejemplo de la figura si arrastramos s sobre r siguiendo el sentido contrario de las manecillas del reloj , el ángulo que representa el área encerrada entre ambas semirrectas se considera positivo. Si por el contrario lo hacemos en el sentido de las agujas del reloj, el ángulo se considera negativo.

Sistema de medidas de ángulos

Para determinar la amplitud de un ángulo, o lo que es lo mismo medirlo, suelen utilizarse distintas unidades. En concreto, las más utilizadas son los grados sexagesimales, los grados centesimales o los radianes. Todas ellas se basan en el concepto de ángulo completo, es decir el mayor ángulo que existe entre una semirrecta y ella misma.

ángulo completo

Ángulo completo

Mayor ángulo que se forma entre una semirrecta consigo misma.

Sistema sexagesimal

En este sistema se divide un ángulo completo o lo que es lo mismo, una circunferencia completa, en 360 partes iguales por medio de segmentos que poseen como origen común el radio de dicha circunferencia. El ángulo determinado por cada región recibe el nombre de grado sexagesimal (1º). Cada grado a su vez se divide en 60 minutos (60 ') y cada minuto en 60 segundos (60''):

1º = 60 '
1' = 60 ''

Por tanto, en el sistema sexagesimal un ángulo completo está formado por 360º o 21600' o 1296000 ''

Cuatro imágenes que representan los ángulos de 90º, 180º, 270º y 360º

Principales ángulos en grados sexagesimales

Sistema centesimal

De forma similar al sistema sexagesimal, el ángulo completo se divide en determinadas partes denominadas grados centesimales (1g), aunque en esta ocasión dicha división se realiza en 400 partes iguales. Cada grado centesimal se divide en 100 minutos centesimales (100m) y cada minuto se divide en 100 segundos centesimales (100s).

1g = 100m
1m = 100s

Ángulos de 100g, 200g, 300g y 400g

Principales ángulos en grados centesimales

Cálculo en radianes

Al igual que los grados sexagesimales o centesimales existe otra unidad denominada radián (rad) cuya principal diferencia es que relaciona el ángulo que representa con la longitud del arco recorrido al girarlo.

Un radián es el ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con el radio de la misma.

Un radian es el ángulo que provoca que el arco de la circunferencia que lo recorre es igual a su radio

Radián

Si AB es igual al radio r, entonces α = 1 radián = 1 rad. 

Además se cumple que:
Ángulo (rad) =Longitud arcoRadio

Si te fijas bien, si el radio de la circunferencia es la unidad el ángulo en radianes coincide con la longitud del arco.

Ángulo completo=2·π·rr=2π rad

Si tenemos en cuenta que la longitud de una circunferencia es 2·π·r se cumple que un ángulo completo en radianes es:

ángulos llano, recto y completo usando radianes.

Principales ángulos en radianes

Transformación entre grados sexagesimales y radianes

Grados sexagesimales a radianes

Para transformar cualquier ángulo expresado en grados sexagesimales (Ej. 10º 12' 24'') a radianes, en primer lugar, vamos a convertirlo completamente a grados y posteriormente a radianes:

  1. Convertiremos los grados, minutos y segundos a un valor expresado únicamente en grados (si ya no lo está). Para ello:
    1. Multiplica los minutos (') por 1º/60'. Ej. 12' = 12' · 1º/60' = 0.2º
    2. Multiplica los segundos ('') por 1º/3600''. Ej 24" = 24" · 1º/3600" = 0.007º
    3. Súma los dos resultados anteriores a los grados del ángulo y ese será el mismo ángulo expresado únicamente en grados . Ej. 10º 12' 24'' = 10º+0.2º+0.007º = 10.207º 
  2. El ángulo en radianes se obtiene al multiplicar los grados calculados anteriormente y multiplicarlos por π rad/180º. Ej.  10.207º = 10.207º · π rad/180º = 0.178 rad

Radianes a Grados Sexagesimales

Para transformar cualquier ángulo en radianes ( Ej. 2.23 rad ) en primer lugar lo convertiremos completamente a grados y posteriormente a grados, minutos y segundos.

  1. Multiplica los radianes por 180ºπ rad. De esta forma obtenemos los grados. Ej. 2.23 rad = 2.23 rad · 180º/π rad = 127.7695º
  2. Si obtenemos decimales, los multiplicamos por 60'/1º. Ej 0.7695º · 60'/1º = 46.17'
  3. Si obtenemos nuevamente decimales los multiplicamos por 60"/1'. Ej 0.17' · 60"/1 = 10.2"
  4. La parte entera de cada uno de llos resultados obtenidos en los paso 1, 2 y 3 es el ángulo sexagesimal: Ej. 127º 46' 10"

Reducción de un ángulo al primer giro

Imagina un coche dando vueltas en una pista circular. Tras varias vueltas el ángulo que se habrá desplazado será mayor que la de un ángulo completo: 360º = 2 π rad, aunque al final el ángulo de su posición se pueda determinar únicamente con el ángulo de su última vuelta (entre 0º y 360º). Por esta razón:

Si un ángulo tiene mayor valor que 360º (2π rad)  o menor que 0º (0 rad) se puede transformar a un ángulo equivalente comprendido entre 0º y 360º

Reducir grados sexagesimales al primer giro

1. Si el ángulo es mayor de 360º, el ángulo reducido es el resto de la división entre el ángulo y 360º.
2. Si el ángulo es menor de 0º, el ángulo es la resta entre 360º y el resto de la división entre el valor absoluto del ángulo y 360º. 

Reducir radianes al primer giro

1. Si el ángulo es mayor de 2π rad, el ángulo es el resto de la división entre el ángulo y 2π rad.
2. Si el ángulo es menor de 0 rad, el ángulo es la resta entre 2π rad y el resto de la división (calculado como en el primer caso) entre el valor absoluto del ángulo y 2π rad.

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Convertir grados sexagesimales a radianes

dificultad

Transforma los siguientes ángulos a radianes:

a) 40º 18' 36"
b) -120º 20' 13''
c) 75º 0º 20''

Transformar radianes a grados sexagesimales

dificultad

Transforma los siguientes ángulos en radianes a grados sexagesimales:

a) 4.6 rad.
b) -2.7 rad
c) 1.3 rad

Reducir al primer giro grados sexagesimales

dificultad

Calcular la reducción al primer giro de los siguientes ángulos:

a) 1236º.
b) -453º.

Reducir radianes al primer giro

dificultad

Calcular la reducción al primer giro de los siguientes ángulos expresados en radianes:

a) 15π rad.
b) -7.2 rad.

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