Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

A partir de cualquier ángulo agudo α (menor de 90º) es posible construir un triángulo rectángulo ABC como el que puedes apreciar en la siguiente figura.

Triángulo rectángulo en el que se muestran la hipotenusa y low catetos

Triángulo rectángulo
Cualquier triángulo rectángulo posee dos ángulos agudos y uno recto.

Teniendo en cuenta dicha figura geométrica y los ángulos formados en cada uno de sus vértices es posible obtener una serie de razones que reciben el nombre de razones trigonométricas conocidas como seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente.

seno

El seno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto (c) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como sen(α) o sin(α).

sinα= cateto opuestohipotenusa=ca

coseno

El coseno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo (b) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como cos(α).

cosα= cateto contiguohipotenusa=ba

tangente

La tangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como tg(α) o tan(α).

tanα= cateto opuestocateto contiguo=cb

De las definiciones anteriores es posible deducir que:

tgα=sinαcosα

Demostración:

tanα= cb=c=sinα·a b=cosα·a=sinα·acosα·a=sinαcosα

cosecante

La cosecante de un ángulo agudo α es la relación inversa del seno, es decir el cociente entre la longitud de la hipotenusa (a) y la longitud del cateto opuesto al ángulo (c). Se representa como cosec(α) o csc(α).

cscα=1sinα=hipotenusacateto opuesto=ac

secante

La secante de un ángulo agudo α es la relación inversa del coseno es decir, el cociente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto contiguo al ángulo (b). Se representa como sec(α).

secα=1cosα=hipotenusacateto contiguo=ab

cotangente

La cotangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como cotg(α) o cot(α).

cotgα=1tgα=cateto contiguocateto opuesto=bc

Propiedades de las razones trigonométricas de un ángulo agudo

1. Dado que se trata de un ángulo agudo ( 0 < α < 90º ) podemos deducir que:

0<sinα<10<cosα<1

2. A partir del teorema de pitágoras podemos deducir lo que se conoce como identidad pitagórica:

sin2α+cos2α=1

Demostración:

sin2α+cos2α=ca2+ba2=c2+b2a2=a2=b2+c2=a2a2=1

3. De igual forma, si dividimos la identidad pitagórica por cos2(α) obtenemos que:

tan2α+1 = sec2α

Demostración:

sin2αcos2α+cos2αcos2α=1cos2α ;sinαcosα2+1=1cosα2 ;tan2α+1 = sec2α

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Datos
α=23.99º | sin α = 2.00/4.92= 0.41 | cos α = 4.50/4.92= 0.91 | tg α = 2.00/4.50= 0.45
γ=66.01º | sin γ = 4.50/4.92= 0.91 | cos γ = 2.00/4.92= 0.41 | tg γ = 4.50/2.00= 2.25
Razones trigonométricas de ángulos agudos
La figura muestra un triángulo rectángulo. Observa que en este tipo de triángulos se forman dos ángulos agudos (α y γ) y un ángulo recto (β). Desplaza los vértices C y B para determinar su tamaño y observa como se calculan las razones trigonométricas de α y γ.

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

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