Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

A partir de cualquier ángulo agudo α (menor de 90º) es posible construir un triángulo rectángulo ABC como el que puedes apreciar en la siguiente figura.

Triángulo rectángulo en el que se muestran la hipotenusa y low catetos

Triángulo rectángulo
Cualquier triángulo rectángulo posee dos ángulos agudos y uno recto.

Teniendo en cuenta dicha figura geométrica y los ángulos formados en cada uno de sus vértices es posible obtener una serie de razones que reciben el nombre de razones trigonométricas conocidas como seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente.

seno

El seno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto (c) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como sen(α) o sin(α).

sinα= cateto opuestohipotenusa=ca

coseno

El coseno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo (b) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como cos(α).

cosα= cateto contiguohipotenusa=ba

tangente

La tangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como tg(α) o tan(α).

tanα= cateto opuestocateto contiguo=cb

De las definiciones anteriores es posible deducir que:

tgα=sinαcosα

Demostración:

tanα= cb=c=sinα·a b=cosα·a=sinα·acosα·a=sinαcosα

cosecante

La cosecante de un ángulo agudo α es la relación inversa del seno, es decir el cociente entre la longitud de la hipotenusa (a) y la longitud del cateto opuesto al ángulo (c). Se representa como cosec(α) o csc(α).

cscα=1sinα=hipotenusacateto opuesto=ac

secante

La secante de un ángulo agudo α es la relación inversa del coseno es decir, el cociente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto contiguo al ángulo (b). Se representa como sec(α).

secα=1cosα=hipotenusacateto contiguo=ab

cotangente

La cotangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como cotg(α) o cot(α).

cotgα=1tgα=cateto contiguocateto opuesto=bc

Propiedades de las razones trigonométricas de un ángulo agudo

1. Dado que se trata de un ángulo agudo ( 0 < α < 90º ) podemos deducir que:

0<sinα<10<cosα<1

2. A partir del teorema de pitágoras podemos deducir lo que se conoce como identidad pitagórica:

sin2α+cos2α=1

Demostración:

sin2α+cos2α=ca2+ba2=c2+b2a2=a2=b2+c2=a2a2=1

3. De igual forma, si dividimos la identidad pitagórica por cos2(α) obtenemos que:

tan2α+1 = sec2α

Demostración:

sin2αcos2α+cos2αcos2α=1cos2α ;sinαcosα2+1=1cosα2 ;tan2α+1 = sec2α

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Datos
α=23.99º | sin α = 2.00/4.92= 0.41 | cos α = 4.50/4.92= 0.91 | tg α = 2.00/4.50= 0.45
γ=66.01º | sin γ = 4.50/4.92= 0.91 | cos γ = 2.00/4.92= 0.41 | tg γ = 4.50/2.00= 2.25
Razones trigonométricas de ángulos agudos
La figura muestra un triángulo rectángulo. Observa que en este tipo de triángulos se forman dos ángulos agudos (α y γ) y un ángulo recto (β). Desplaza los vértices C y B para determinar su tamaño y observa como se calculan las razones trigonométricas de α y γ.

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Razones trigonométricas a partir de la secante de un ángulo

dificultad

Calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo α, sabiendo que sec α = 4.

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Razones trigonométricas de ángulos agudos. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

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Definición del seno de un ángulo agudo

sinα= cateto opuestohipotenusa=ca

Definición del coseno de un ángulo agudo

cosα= cateto contiguohipotenusa=ba

Definición de tangente de un ángulo


tanα=cateto opuestocateto contiguo=bc

Definición de cosecante de un ángulo

cscα=1sinα=hipotenusacateto opuesto=ac

Definición de secante de un ángulo

secα=1cosα=hipotenusacateto contiguo=ab

Definición de cotangente de un ángulo

cotgα=1tgα=cateto contiguocateto opuesto=bc

Ficha de apartados relacionados

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