La trigonometría es el estudio de los triángulos, estos es, de las relaciones entre los ángulos y los lados que los componen. En este apartado vamos a estudiar las razones trigonométricas de ángulos agudos (menores de 90º o π/2 rad) a través de los siguientes puntos:

Si ya estás familiarizado con estas ideas, te recomendamos que visites el apartado sobre las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

¿Empezemos?

Cuando hablamos de razón nos estamos refiriendo, en este caso, a una división. Como vamos a ver, las razones trigonométricas relacionan lados y ángulos a través de una división.

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

A partir de cualquier ángulo agudo α (menor de 90º) es posible construir un triángulo rectángulo ABC como el que puedes apreciar en la siguiente figura.

Triángulo rectángulo en el que se muestran la hipotenusa y los catetos

Triángulo rectángulo

Cualquier triángulo rectángulo posee dos ángulos agudos y uno recto.

Teniendo en cuenta dicha figura geométrica y los ángulos formados en cada uno de sus vértices es posible obtener una serie de razones que reciben el nombre de razones trigonométricas conocidas como seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente.

Seno

El seno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto (c) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como sen(α) o sin(α).

sinα= cateto opuestohipotenusa=ca

Definición de seno de un ángulo

Definición de seno de un ángulo

Podemos encontrar el valor del seno de un ángulo dividiendo el cateto opuesto a dicho ángulo entre la hipotenusa del triángulo rectángulo. Ten presente que el cateto opuesto es aquel que está "frente" al ángulo (no "toca" el ángulo).

Coseno

El coseno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo (b) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como cos(α).

cosα= cateto contiguohipotenusa=ba

Definición de coseno de un ángulo

Definición de coseno de un ángulo

Podemos encontrar el valor del coseno de un ángulo dividiendo el cateto contiguo a dicho ángulo entre la hipotenusa del triángulo rectángulo. Ten presente que el cateto contigo es aquel que está "adyacente" al ángulo (toca al ángulo por uno de sus extremos). Recuerda, como regla mnemotécnica, "coseno=contiguo".

Tangente

La tangente de un ángulo agudo α es el cociente entre el seno y el coseno o, dicho de otra manera, la longitud del cateto opuesto al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como tg(α) o tan(α).

tanα=sinαcosα=cateto opuestocateto contiguo=cb

Definición de tangente de un ángulo

Definición de tangente de un ángulo

Podemos encontrar el valor de la tangente de un ángulo dividiendo el seno entre el coseno de dicho ángulo o, dicho de otra manera, dividiendo el cateto opuesto entre el contiguo a dicho ángulo.

Demostración

De las definiciones anteriores es posible deducir que:

Demostración:

tanα=sinαcosα=sinα=cacosα=ba=caba=c·ab·a=cb

El seno, el coseno y la tangente son las razones trigonométricas principales. El resto, como vamos a ver, se pueden obtener simplemente haciendo el valor inverso de estas (de ahí que se llamen usualmente razones inversas). Existe una regla mnemotécnica que puede ayudarte a recordar las razones principales: SOH-CAH-TOA. Efectivamente, se trata de Seno Opuesto Hipotenusa - Coseno Adyacente Hipotenusa - Tangente Opuesto Adyacente

Cosecante

La cosecante de un ángulo agudo α es la relación inversa del seno, es decir el cociente entre la longitud de la hipotenusa (a) y la longitud del cateto opuesto al ángulo (c). Se representa como cosec(α) o csc(α).

cscα=1sinα=hipotenusacateto opuesto=ac

Secante

La secante de un ángulo agudo α es la relación inversa del coseno es decir, el cociente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto contiguo al ángulo (b). Se representa como sec(α).

secα=1cosα=hipotenusacateto contiguo=ab

Cotangente

La cotangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como cotg(α) o cot(α).

cotgα=1tgα=cateto contiguocateto opuesto=bc

En el apartado siguiente de nuestro tema vamos a estudiar el valor de las razones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º

Una cuestión de notación: Recuerda que sin2(α)=(sin(α))2, cosn(α)=(cos(α))n, y lo mismo para el resto de razones.

Propiedades de las razones trigonométricas

Dado que se trata de un ángulo agudo ( 0 < α < 90º ) podemos deducir que:

0<sinα<10<cosα<1

¿Sabrías decir por qué? Efectivamente, dado que en el seno y en el coseno se divide entre la hipotenusa, y este es el lado mayor, siempre mayor que los catetos, el cociente será siempre menor que 1.

En general, si no nos restringimos a ángulos agudos, tenemos que:

-1<sinα<1-1<cosα<1

Volveremos a ello cuando estudiemos las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Identidad fundamental de la trigonometría

A partir del teorema de Pitágoras podemos deducir lo que se conoce como identidad pitagórica:

sin2α+cos2α=1

Demostración:

sin2α+cos2α=ca2+ba2=c2+b2a2=a2=b2+c2=a2a2=1

Si dividimos la identidad pitagórica por cos2(α) obtenemos que:

tan2α+1 = sec2α

Demostración:

sin2αcos2α+cos2αcos2α=1cos2α ;sinαcosα2+1=1cosα2 ;tan2α+1 = sec2α

Por otro lado, si dividimos la identidad pitagórica por sin2(α) obtenemos que:

1+cot2α = csc2α

Demostración:

sin2αsin2α+cos2αsin2α=1sin2α;1+cosαsinα2=1sinα2 ;1+cot2α =csc2α

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Datos
α=23.99º | sin α = 2.00/4.92= 0.41 | cos α = 4.50/4.92= 0.91 | tg α = 2.00/4.50= 0.45
γ=66.01º | sin γ = 4.50/4.92= 0.91 | cos γ = 2.00/4.92= 0.41 | tg γ = 4.50/2.00= 2.25
Razones trigonométricas de ángulos agudos

La figura muestra un triángulo rectángulo. Observa que, en este tipo de triángulos, se forman dos ángulos agudos (α y γ) y un ángulo recto (β). Desplaza los vértices C y B para determinar su tamaño y observa como se calculan las razones trigonométricas de α y γ.

Por otro lado, observa que, aunque las razones son una división de dos lados de un triángulo, el tamaño de este no influye en el resultado, siempre que el ángulo se mantenga constante. Esto se debe a que los cocientes se mantienen constantes en triángulos que son semejantes.

Recuerda que dos triángulos son semejantes cuando:

  • Los ángulos son iguales
  • Los lados homólogos son proporcionales

En triángulos semejantes se define la razón de semejanza como el cociente entre las longitudes de lados homólogos (los están en el mismo "sitio", es decir, entre los mismos ángulos).

Calculadora

Podemos calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo agudo (y de cualquier ángulo, en general) con nuestra calculadora. Tenemos para ello las teclas:

  • tecla seno calculadora: Para el cálculo del seno. La palabra sin es del inglés sinus (seno), aunque en algunas calculadoras tienes directamente sen
  • tecla coseno calculadora: Para el cálculo del coseno
  • tecla tangente calculadora: Para el cálculo de la tangente

Es muy importante que sepas como la calculadora va a interpretar el ángulo que estás poniendo. Así, si tienes tu calculadora configurada en grados sexagesimales probablemente verás en la línea superior y en pequeñito la letra D (del inglés degree). Significa que cuando pongas, por ejemplo sin(30), la calculadora resolverá sin(30º)=0.5. En cambio, si tienes tu calculadora configurada en radianes (apareciendo en la línea superior y en pequeñito la letra R de radianes), y pones sin(30) la calculadora resolverá sin(30 rad)=-0.988.

También puedes utilizar la calculadora para recorrer el camino inverso, es decir, obtener el valor del ángulo cuya razón conoces. Por ejemplo, sabiendo que sin(α)=0.5 es posible usar la calculadora para obtener α=30º. Volveremos a ello cuando estudiemos las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Autor artículo
Sobre el autor
José L. Fernández es ingeniero de telecomunicaciones, profesor y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo libre a escribir artículos para Fisicalab y a ayudar a Link a salvar Hyrule.

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