El momento de un vector respecto a un punto O o respecto a una recta o eje e es otro vector que relaciona al propio vector con su punto de aplicación respecto del punto O o la recta e. En este apartado vamos a estudiar tanto uno como otro, así como también sus aplicaciones en Física.
Momento de un vector respecto a un punto
Se define el momento de un vector respecto de un punto O como el producto vectorial del vector de posición del origen del vector respecto del punto O por el propio vector .
Donde:
- : Vector al que vamos a calcular su momento
- : Vector de posición de respecto al punto O
- : Vector momento. Es un vector perpendicular al plano formado por los vectores y
La siguiente imagen es una representación gráfica del momento:
Observa que hemos llamado P al punto de aplicación del vector . El vector no es un vector libre ya que entonces su momento respecto de cualquier punto sería cero con sólo tomar un equipolente con origen en dicho punto.
Por otro lado, el momento no es más que un producto vectorial. Esto quiere decir que tiene las siguientes características:
- Módulo.
- Dirección. Perpendicular al plano formado por y
- Sentido. Para determinarlo puedes usar la regla de la mano derecha: Utiliza la palma de tu mano, orientándola desde hasta por el camino más corto. El dedo pulgar determina el sentido del producto, tal y como se ve en la figura anterior
Recuerda que, para el cálculo del producto vectorial, también puedes utilizar su expresión analítica en forma de determinante 3x3, especialmente útil cuando conocemos las componentes cartesianas de cada vector.
Teorema de Varignon
El momento de un vector se puede descomponer en la suma de los momentos de cada una de las componentes de dicho vector. Se trata de la aplicación de la propiedad distributiva del producto vectorial. Así, en el caso de las coordenadas cartesianas, nos queda:
Uso en Física
El momento vectorial es muy importante en Física. Cobra especial relevancia cuando estudiamos la dinámica de un sistema de partículas. En concreto, nos permite conocer el cambio en el estado de rotación de un sólido rígido.
Momento de un vector respecto a un eje
Al momento de un vector respecto a un eje también se le conoce como momento de un vector respecto a una recta y momento áxico.
Se define el momento de un vector respecto a un eje e como la proyección sobre dicho eje del momento de ese vector con respecto a un punto cualquiera del eje. Normalmente, y por comodidad, solemos escoger el punto del eje más próximo al origen del vector . Su expresión viene dada por:
Donde:
- : Vector al que vamos a calcular su momento
- : Es el vector de posición del vector respecto de un punto cualquier del eje e. Normalmente se suele escoger, por comodidad, el punto del eje más próximo al origen del vector
- : Vector unitario en la dirección del eje e
- : Es el momento del vector respecto al punto considerado del eje e. Se trata de un vector perpendicular al plano definido por el vector y
- : Ángulo formado entre el y el eje e
- : Momento del vector respecto al eje o recta e. Es un escalar
La siguiente imagen es una representación gráfica de lo anterior:
Observa que, de la propia definición, podemos extraer varias conclusiones:
-
Al estar definido a partir de un producto escalar, el momento respecto a un eje es un escalar (una proyección respecto a un eje). En ocasiones, sin embargo, usamos el mismo nombre para referirnos a la magnitud vectorial correspondiente (el vector proyección respecto a dicho eje). Como adivinarás, dicho vector tiene como módulo el del momento del vector respecto al eje y como dirección la que marca el eje. Su expresión en este caso vendría dada por:
-
Es independiente del punto elegido sobre el eje. En el siguiente "Experimenta y aprende" puedes comprobarlo tú mismo