Momento de un Vector

El momento de un vector $\overrightarrow{V}$  respecto a un punto O o respecto a una recta o eje e es otro vector que relaciona al propio vector con su punto de aplicación respecto del punto O o la recta e. En este apartado vamos a estudiar tanto uno como otro, así como también sus aplicaciones en Física.

Momento de un vector respecto a un punto

La siguiente imagen es una representación gráfica del momento:

Observa que hemos llamado P al punto de aplicación del vector $\overrightarrow{V}$ . El vector $\overrightarrow{V}$  no es un vector libre ya que entonces su momento respecto de cualquier punto sería cero con sólo tomar un equipolente con origen en dicho punto.

Por otro lado, el momento no es más que un producto vectorial. Esto quiere decir que tiene las siguientes características:

• Módulo. $\left|{\overrightarrow{M}}_o\right|=\left|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{V}\right|=r·V·\sin \left(\alpha \right)$ 
• Dirección. Perpendicular al plano formado por $\overrightarrow{r}$ y $\overrightarrow{V}$ 
• Sentido. Para determinarlo puedes usar la regla de la mano derecha: Utiliza la palma de tu mano, orientándola desde $\overrightarrow{r}$ hasta $\overrightarrow{V}$ por el camino más corto. El dedo pulgar determina el sentido del producto, tal y como se ve en la figura anterior 

Recuerda que, para el cálculo del producto vectorial, también puedes utilizar su expresión analítica en forma de determinante 3x3, especialmente útil cuando conocemos las componentes cartesianas de cada vector.

$${\overrightarrow{M}}_o=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{V}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ r_x& r_y& r_z\\ V_x& V_y& V_z\end{array}\right|$$

Experimenta y Aprende

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Momento de un vector respecto a un punto

En el siguiente "Experimenta y Aprende" vamos representar el momento de un vector respecto a un punto. Además vamos a estudiar el efecto de cambiar algunos de sus parámetros característicos.

Observa el vector, representado en azul. Su línea de acción o dirección se representa por la recta del mismo color que lo atraviesa. Por otro lado, el punto respecto al que calcularemos su momento aparece representado en negro.

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Teorema de Varignon

El momento de un vector se puede descomponer en la suma de los momentos de cada una de las componentes de dicho vector. Se trata de la aplicación de la propiedad distributiva del producto vectorial. Así, en el caso de las coordenadas cartesianas, nos queda:

$${\overrightarrow{M}}_o=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{V}=\overrightarrow{r}\times V_x·\overrightarrow{i}+\overrightarrow{r}\times V_y·\overrightarrow{j}+\overrightarrow{r}\times V_z·\overrightarrow{k}$$

Uso en Física

El momento vectorial es muy importante en Física. Cobra especial relevancia cuando estudiamos la dinámica de un sistema de partículas. En concreto, nos permite conocer el cambio en el estado de rotación de un sólido rígido.

Momento de un vector respecto a un eje

Al momento de un vector respecto a un eje también se le conoce como momento de un vector respecto a una recta y momento áxico.

La siguiente imagen es una representación gráfica de lo anterior:

Observa que, de la propia definición, podemos extraer varias conclusiones:

1. Al estar definido a partir de un producto escalar, el momento respecto a un eje es un escalar (una proyección respecto a un eje). En ocasiones, sin embargo, usamos el mismo nombre para referirnos a la magnitud vectorial correspondiente (el vector proyección respecto a dicho eje). Como adivinarás, dicho vector tiene como módulo el del momento del vector respecto al eje y como dirección la que marca el eje. Su expresión en este caso vendría dada por:

   $${\overrightarrow{M}}_e=M_e·{\overrightarrow{u}}_e=M_o·\cos \left(\alpha \right)·{\overrightarrow{u}}_e$$ 

2. Es independiente del punto elegido sobre el eje.  En el siguiente "Experimenta y aprende" puedes comprobarlo tú mismo

Experimenta y Aprende

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Momento de un vector respecto a un eje

• $\left|\overrightarrow{V}\right|=$ 1
• $\left|\overrightarrow{r}\right|=$  
• $\left|\overrightarrow{M_o}\right|=$  
• $\alpha =$  
• $\left|\overrightarrow{M_e}\right|=$  

El momento de un vector respecto a un eje, en su expresión vectorial, se calcula como

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{M}}_e=\left({\overrightarrow{M}}_o·{\overrightarrow{u}}_e\right)·{\overrightarrow{u}}_e= \\ =\left(\left(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{V}\right)·{\overrightarrow{u}}_e\right)·{\overrightarrow{u}}_e= \\ =\left|{\overrightarrow{M}}_o\right|·\cos \left(\alpha \right)·{\overrightarrow{u}}_e \end{gathered}$$

En la figura aparecen representados los siguientes elementos principales:

• El eje e, en negro
• $\overrightarrow{V}$ , en azul
• $\overrightarrow{r}$ , en verde
• ${\overrightarrow{M}}_e$ , en violeta

Pulsa y arrastra el punto considerado sobre e y observa como ${\overrightarrow{M}}_e$  permanece constante. En rojo puedes ver ${\overrightarrow{M}}_o$ . Observa como su dirección es siempre perpendicular al plano que formen $\overrightarrow{r}$  y $\overrightarrow{V}$ . Sin embargo, a medida que el punto considerado está más lejano a $\overrightarrow{V}$ , $\overrightarrow{r}$  crece y, en consecuencia, también crece el valor de ${\overrightarrow{M}}_o$ . A medida que aumenta este último, lo hace también α, representado por el arco que aparece entre los vectores ${\overrightarrow{M}}_o$  Y ${\overrightarrow{M}}_e$ , haciendo que la proyección sobre el eje e permanezca constante.