El momento de un vector V  respecto a un punto O o respecto a una recta o eje e es otro vector que relaciona al propio vector con su punto de aplicación respecto del punto O o la recta e. En este apartado vamos a estudiar tanto uno como otro, así como también sus aplicaciones en Física.

Momento de un vector respecto a un punto

Se define el momento de un vector V respecto de un punto O como el producto vectorial del vector de posición del origen del vector V  respecto del punto O por el propio vector V .

Mo=r×V

Donde:

  • V : Vector al que vamos a calcular su momento
  • r : Vector de posición de V  respecto al punto O
  • Mo : Vector momento. Es un vector perpendicular al plano formado por los vectores r  y V 

La siguiente imagen es una representación gráfica del momento:

Descripción del momento de un vector respecto a un punto

Observa que hemos llamado P al punto de aplicación del vector V . El vector V  no es un vector libre ya que entonces su momento respecto de cualquier punto sería cero con sólo tomar un equipolente con origen en dicho punto.

Por otro lado, el momento no es más que un producto vectorial. Esto quiere decir que tiene las siguientes características:

  • Módulo. Mo=r×V=r·V·sinα 
  • Dirección. Perpendicular al plano formado por r y V 
  • Sentido. Para determinarlo puedes usar la regla de la mano derecha: Utiliza la palma de tu mano, orientándola desde r hasta V por el camino más corto. El dedo pulgar determina el sentido del producto, tal y como se ve en la figura anterior 

Recuerda que, para el cálculo del producto vectorial, también puedes utilizar su expresión analítica en forma de determinante 3x3, especialmente útil cuando conocemos las componentes cartesianas de cada vector.

Mo=r×V=ijkrxryrzVxVyVz

Experimenta y Aprende
Experimenta y aprende: Momento de un vector respecto a un punto

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Momento de un vector respecto a un punto

En el siguiente "Experimenta y Aprende" vamos representar el momento de un vector respecto a un punto. Además vamos a estudiar el efecto de cambiar algunos de sus parámetros característicos.

Observa el vector, representado en azul. Su línea de acción o dirección se representa por la recta del mismo color que lo atraviesa. Por otro lado, el punto respecto al que calcularemos su momento aparece representado en negro.

Puedes pulsar el botón siguiente para comenzar.

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Teorema de Varignon

El momento de un vector se puede descomponer en la suma de los momentos de cada una de las componentes de dicho vector. Se trata de la aplicación de la propiedad distributiva del producto vectorial. Así, en el caso de las coordenadas cartesianas, nos queda:

Mo=r×V=r×Vx·i+r×Vy·j+r×Vz·k

Uso en Física

El momento vectorial es muy importante en Física. Cobra especial relevancia cuando estudiamos la dinámica de un sistema de partículas. En concreto, nos permite conocer el cambio en el estado de rotación de un sólido rígido.

Momento de un vector respecto a un eje

Al momento de un vector respecto a un eje también se le conoce como momento de un vector respecto a una recta y momento áxico.

Se define el momento de un vector V  respecto a un eje e como la proyección sobre dicho eje del momento de ese vector con respecto a un punto cualquiera del eje. Normalmente, y por comodidad, solemos escoger el punto del eje más próximo al origen del vector V . Su expresión viene dada por:

Me=r×V·ue=Mo·ue=Mo·cosα

Donde:

  • V : Vector al que vamos a calcular su momento
  • r : Es el vector de posición del vector respecto de un punto cualquier del eje e. Normalmente se suele escoger, por comodidad, el punto del eje más próximo al origen del vector
  • ue : Vector unitario en la dirección del eje e
  • Mo : Es el momento del vector V  respecto al punto considerado del eje e. Se trata de un vector perpendicular al plano definido por el vector V  y r 
  • α : Ángulo formado entre el Mo y el eje e
  • Me : Momento del vector V  respecto al eje o recta e. Es un escalar

La siguiente imagen es una representación gráfica de lo anterior:

Descripción del momento de un vector respecto a un eje

Observa que, de la propia definición, podemos extraer varias conclusiones:

  1. Al estar definido a partir de un producto escalar, el momento respecto a un eje es un escalar (una proyección respecto a un eje). En ocasiones, sin embargo, usamos el mismo nombre para referirnos a la magnitud vectorial correspondiente (el vector proyección respecto a dicho eje). Como adivinarás, dicho vector tiene como módulo el del momento del vector respecto al eje y como dirección la que marca el eje. Su expresión en este caso vendría dada por:

    Me=Me·ue=Mo·cosα·ue 

  2. Es independiente del punto elegido sobre el eje.  En el siguiente "Experimenta y aprende" puedes comprobarlo tú mismo

Experimenta y Aprende
Experimenta y aprende: Momento de un vector respecto a un eje

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Momento de un vector respecto a un eje
  • V= 1
  • r=  
  • Mo=  
  • α=  
  • Me=  

El momento de un vector respecto a un eje, en su expresión vectorial, se calcula como

Me=Mo·ue·ue==r×V·ue·ue==Mo·cosα·ue

En la figura aparecen representados los siguientes elementos principales:

  • El eje e, en negro
  • V , en azul
  • r , en verde
  • Me , en violeta

Pulsa y arrastra el punto considerado sobre e y observa como Me  permanece constante. En rojo puedes ver Mo . Observa como su dirección es siempre perpendicular al plano que formen r  y V . Sin embargo, a medida que el punto considerado está más lejano a V , r  crece y, en consecuencia, también crece el valor de Mo . A medida que aumenta este último, lo hace también α, representado por el arco que aparece entre los vectores Mo  Y Me , haciendo que la proyección sobre el eje e permanezca constante.

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Momento de un vector respecto a un punto. Aplicación teorema de Varignon

dificultad

Determina el momento del vector V=i  respecto al origen, sabiendo que su punto de aplicación está en P(0,1,0).¿Qué relación guarda el momento calculado con el del vector V2=i+j ?¿Y con el del vector V3=i-3·j ?¿Sabrías explicar por qué?

Momento de un vector respecto a distintos puntos

dificultad

Determina el momento del vector V=6·i-3·j+4·k  respecto al origen de coordenadas, sabiendo que su vector de posición, respecto de dicho origen, es el r=-3·i-6·j+3·k . Posteriormente, calcula el momento respecto al punto P(1,1,1).

Momento de un vector respecto al eje X

dificultad

Determina el momento del vector V  de componentes (1,2,0) respecto al eje x sabiendo que su vector de posición respecto al origen viene dado por r=2·i+j+k 

Momento de un vector respecto a eje dado por su ecuación continua

dificultad

Calcular el momento del vector V=i-3·j , cuyo vector de posición es r=i-k , respecto al eje definido por la ecuación:

x-12=y-22=z-3

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Momento de un Vector. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Momento de un vector respecto a un punto

Mo=r×V

Momento de un vector respecto a un eje

Me=r×V·ue=Mo·ue=Mo·cosα

Momento de un vector respecto a un eje -vector

Me=r×V·ue·ue=Mo·ue·ue=Me·ue

Ficha de apartados relacionados

El apartado no se encuentra disponible en otros niveles educativos.