El producto vectorial de un vector a  y otro b , denotado como a×b , es un vector r tal que:

  • Módulo a×b=a·b·sinα 
  • Dirección : Es perpendicular al plano que definen ambos vectores
  • Sentido : Queda definido por cualquiera de las siguientes reglas:
    • Regla del sacacorchos o del tornillo. El sentido es el mismo sentido de avance de un sacacorchos o tornillo que girase desde a  hasta b  por el camino más corto
    • Regla de la mano derecha con la palma. También puedes utilizar la palma de tu mano, orientándola desde a  hasta b  por el camino más corto. El dedo pulgar determina el sentido del producto, tal y como se ve en la figura inferior
    • Regla de la mano derecha con tres dedos. Otra opción es utilizar tu mano derecha y los dedos índice ( a  ), corazón o medio ( b  )  y pulgar ( a×b  ), tal y como se ve en la figura inferior

Sentido del producto vectorial: regla del sacacorchos y de la mano derecha

Como puedes observar, el producto vectorial no es conmutativo ( a×bb×a  ) sino anticonmutativo ( a×b=-b×a ).

Expresión analítica

La expresión analítica del producto vectorial r=a×b  expresa r  en función de sus componentes cartesianas r, r, r, a partir de las componentes cartesianas de a  , aaa, y b  , b, bbz . Utilizamos para ello los determinantes de rango 3 x 3.

a×b=ijkaxayazbxbybz=ay·bz-by·az·i+az·bx-bz·ax·j+ax·by-bx·ay·k

Donde:

  • a , b : Son los vectores a los cuales se aplica el producto vectorial cuyas componentes son ax , ay , az y bx , by , bz respectivamente
  • i , j, k : Son los vectores unitarios (su módulo es 1) en los sentidos de los ejes , y , z respectivamente

Comprobación

Para realizar la comprobación de la expresión anterior debes de tener en cuenta que:

  • el módulo del producto vectorial de un vector a por sí mismo es r=a·a·sin0=0, quedando:

    i×i=j×j=k×k=0

  • por otro lado, teniendo en cuenta que la dirección del producto vectorial es perpendicular al plano que definen los vectores, y la propiedad anticonmutativa, nos queda:

    i×j=k ;j×i=-kj×k=i ;k×j=-ik×i=j ;i×j=-j

Finalmente, usando la propiedad distributiva a partir de las componentes cartesianas, nos queda:

r=a×b=ax·i+ay·j+az·k×bx·i+by·j+bz·k==ax·bx·i×i+ax·by·i×j+ax·bz·i×k++ay·bx·j×i+ay·by·j×j+ay·bz·j×k++az·bx·k×i+az·by·k×j+az·bz·k×k==ay·bz-by·az·i+az·bx-bz·ax·j+ax·by-bx·ay·k

¿Qué pasa si los vectores son sólo de dos componentes?

En ocasiones, para simplificar cálculos, solemos trabajar con vectores en dos dimensiones. Teniendo en cuenta que la dirección del producto vectorial es siempre perpendicular al plano que forman los vectores, necesitaremos una tercera dimensión para poder expresarlo. Para obtener la expresión analítica podemos suponer que la componente z de cada vector es cero, tal y como hacemos en el siguiente ejercicio.

Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto vectorial tiene igual valor que el área del paralelogramo obtenido a partir de los vectores a  y b , tal y como puede verse en la figura.

Módulo del producto vectorial y área del paralelogramo

Observa que:

a×b=a·b·sinαh=a·h=Área del paralelogramo

Representación en tres dimensiones

En el siguiente experimenta y aprende se representa el producto vectorial en el espacio. Aunque resulta algo difícil de manipular, sirve para que puedas ver con claridad como functiona esta operación y entiendas las propiedades que hemos tratado.

Experimenta y Aprende
Experimenta y aprende: Producto vectorial

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Representación gráfica del producto vectorial

El vector rojo , r , es el producto vectorial de los vectores azul,  a  y verde  v. El paralelogramo formado por  a  y  v  es rosa en el lado hacia el que apunta  r  y púrpura en el opuesto. Usa el ratón para mover los vectores  a  y  v  y observa como:

  • la dirección del producto vectorial  r  siempre es perpendicular a ambos  a  y  v 
  • se cumple la propiedad anticonmutativa: a×v=-v×a
  • el módulo de  r , r , coincide en valor con el área del paralelogramo
    • cuando  a  y  v  son paralelos, es decir, tienen igual dirección α = 0 ó α = 180, el área del paralelogramo es cero, y por tanto  r  es el vector nulo.

      r=a·v·sinα=0

Conclusión

En este apartado hemos presentado el producto vectorial. En física necesitamos 3 dimensiones para expresarlo. Dependiendo del problema concreto al que nos enfrentemos podemos expresar el producto vectorial r=a×b :

  • como un módulo r y un vector unitario uN  que marque dirección, obtenida a partir de la regla de la mano derecha r·uN
  • según sus componentes cartesianas, a partir de la expresión analítica (determinante 3x3), r=(rx , ry , rz)=rx·i+ry·j+rz·k 

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Ficha de ejercicios resueltos

Aquí puedes poner a prueba lo que has aprendido en este apartado.

Área del paralelogramo formado por dos vectores

dificultad

Determina el área del paralelogramo formado por dos vectores sabiendo que:

  • los vectores tienen igual origen
  • sus módulos son 9 m y 4 m respectivamente
  • forman un ángulo de 45º entre sí

Producto vectorial con vectores de dos dimensiones

dificultad

Dados los vectores a=3·i+2·j  y b  (2,-1), determina su producto vectorial.

Producto vectorial para ángulo y para área del paralelogramo

dificultad

Dados los vectores a⃗ =-2·i⃗ +2·j⃗ y b⃗ (5,-1), determina el área del paralelogramo que forman y el ángulo que los separa.

Ficha de fórmulas

Aquí tienes un completo formulario del apartado Producto Vectorial. Entendiendo cada fórmula serás capaz de resolver cualquier problema que se te plantee en este nivel.

Pulsa sobre el icono   para exportarlas a cualquier programa externo compatible.

Área del paralelogramo a partir de producto vectorial

a×b=a·b·sinαh=a·h=Área del paralelogramo

Módulo del producto vectorial

a×b=a·b·sinα

Producto vectorial -expresión analítica

a×b=ijkaxayazbxbybz=ay·bz-by·az·i+az·bx-bz·ax·j+ax·by-bx·ay·k

Ficha de apartados relacionados

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