Optimización de funciones en cinemática

Datos

• Distancia origen nadadora - punto A: d_na=3 km
• Distancia origen punto A - punto B: d_ab=5 km
• v_nado= 2 km/h
• v_caminando= 6 km/h

Consideraciones previas

Nos encontramos ante un problema de optimización de funciones en el que seguiremos los pasos indicados en la teoría enlazada.

Suponiendo que cada tramo de movimiento se produce a velocidad constante, recuerda que:

Siendo s el espacio recorrido sobre la trayectoria, v la velocidad y t el tiempo.

Por otro lado, llamaremos x a la distancia que hay entre el punto A y el punto en el que la nadadora toca costa y comienza su tramo a pie, tal como puede observarse en la siguiente figura:

Resolución

Comenzamos el problema buscando la función a maximizar. Se trata del tiempo. Despejando de la ecuación del mru nos quedaría, en cada tramo:

Siendo el tiempo total empleado la función:

Por otro lado, podemos dejar s_nado y s_caminando en función de x. Efectivamente:

• Nadando. Usamos el teorema de Pitágoras ya que el espacio es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Por tanto:

• Caminando. Nos queda:

Sustituyendo ambos espacios en la función a minimizar tenemos finalmente:

Se trata ahora de buscar los extremos de la función en el intervalo considerado. Para ello comenzamos derivando la función:

Igualamos a 0 para obtener los puntos críticos:

Descartamos la solución negativa por encontrarse fuera del intervalo para el cual tenemos definida nuestra x.

¿Se trata de un máximo, un mínimo o un punto silla? Nos valemos de un cuadro de signos:

Se trata de un mínimo relativo. En un intervalo cerrado (0≤x≤6) los extremos absolutos se encontraran entre los relativos, y los propios extremos del intervalo (esto es t=0, t=6 ó t=1.06. Veamos el valor de t(x) en cada caso:

• t(0)=2.33 h
• t(6)=3.18 h
• t(1.06)=0.93 h

Por tanto para minimizar el tiempo de llegada, la nadadora debe ir a nado a un punto de la costa situado a del punto A, y hacer el resto del camino a pie.