Enunciado
Una partícula puntual se encuentra en reposo en la posición cuando se le imprime una velocidad inicial v0 en el sentido negativo del eje y. En dicho instante, comienza a acelerarse debido a la gravedad terrestre.
- ¿Cuál es el momento angular con respecto al origen en función del tiempo?
- Determina el momento de fuerza que actúa sobre la partícula en cualquier instante con respecto al origen
Solución
Datos
- Velocidad inicial del cuerpo
- Vector de posición inicial
- Aceleración que actúa sobre el cuerpo:
Resolución
El momento angular de una partícula respecto a un punto viene dada por la expresión:
Ahora bien, nos encontramos ante un movimiento de lanzamiento vertical hacia abajo por lo que podemos escribir que la velocidad, en un punto cualquiera, vendrá dada por la expresión:
Por otro lado, podemos escribir el vector de posición en función del tiempo como:
A partir de las expresiones anteriores podemos escribir:
Donde en [1] hemos aplicado la propiedad distributiva del producto vectorial, que y que .
Por otro lado, para determinar el momento de fuerza que actúa sobre la partícula podemos seguir dos caminos distintos.
Camino I
La fuerza que actúa sobre la partícula es:
Por otro lado, conocemos como evoluciona la posición de la partícula a lo largo del tiempo, por lo que podemos aplicar la expresión del momento de fuerza, esto es:
Donde en [2] hemos tenido en cuenta las mismas consideraciones que en [1].
Camino II
La variación del momento angular en el tiempo es, justamente el momento de fuerza que actúa sobre la partícula. Por tanto podemos escribir: